가우시안 분포를 어떻게 적분하는가? [\int_{-\infty}^{\infty}e^{-ax^2}dx = \sqrt{ \frac{\pi}{a} }] [\int_{-\infty}^{\infty}xe^{-ax^2}dx = 0] [\int_{-\infty}^{\infty}x^2e^{-ax^2}dx = \frac{1}{2a}\sqrt{ \frac{\pi}...

연산자란 무엇인가? 양자계에선 물리량을 연산자로 표현한다. 연산자는 함수에 적용하여 다른 함수를 반환하는 일종의 변환이다. 양자역학에서의 연산자는 파동함수에 작용하여 물리량을 추출하는 변환이다. 즉, 파동함수에 연산자를 적용하는 것은 관측하는 행위와 같다. [!error] 연산자에 교환법칙을 적용하지 마라.{title} (\Psi P)와 (P ...

물리량의 기댓값 또는 평균을 어떻게 계산하는가? 물리량 (\times) 확률을 모든 구간에 대해 계산하면 된다. 다음과 같다. 확률밀도함수가 이산 분포일 때: [\langle j \rangle = \sum_{j=0}^{\infty}j P(j)] 확률밀도함수가 연속 분포일 때: [\langle x \rangle = \int_{-\infty}^{\i...

왜 확률을 사용하는가? 모든 물질은 파동이기 때문이다. 만약 다양한 파장의 파동을 합치면, 위 그림과 같이 가운데가 볼록 튀어나온 모양이 된다. 이 경우엔 파동의 위치를 특정할 수 있다. 그렇다면, 위 파동의 파장은 얼마인가? 물어봤을 때, 몰라 라고 답할 수 밖에 없을 것이다. [\lambda=\frac{h}{p}] 드브로이 물질파 공식을 ...

힐베르트 공간이 무엇인가? 힐베르트 공간(Hilbert Space)이란 완비성을 갖춘 Inner Product Space (내적 공간)이다. 힐베르트 공간의 기저는 하나의 상태와 대응한다. 위치 공간, 운동량 공간, 에너지 공간, 스핀 공간 등등은 위치를 기저로 갖거나, 운동량을 기저로 갖거나 하는 각각의 독립적인 힐베르트 공간이다. 양자역학에서 연산...

파동함수는 무엇인가? 하나의 파동함수는 양자계의 하나의 특정 상태를 의미한다. 하지만 그 의미를 직관적으로 파악할 수는 없다. 파동함수는 선형결합으로써 중첩 가능하다. 즉 파동함수를 선형 결합하는 것은, 상태의 중첩과 같다. 파동 함수의 절댓값의 제곱은, 특정 범위에서 입자가 발견될 확률밀도함수다. 파동함수의 집합은 힐베르트 공간을 이룬다. 즉, ...

슈뢰딩거 방정식이란? [i\hbar \frac{\partial\Psi}{\partial t} = - \frac{\hbar^2}{2m} \nabla^2\Psi + V\Psi ~~~~~ \text{(일반적)}] [i\hbar \frac{\partial\Psi}{\partial t} = - \frac{\hbar^2}{2m} \frac{\partial^2...

기본 공리 [!tip] 양자역학을 이해할 수 있는가?{title} 양자역학은 이해하기 아주아주 어렵다.. 기본적인 공리 몇개를 그냥 받아들인 후 논리를 전개하자.\ 모든 물질은 입자임과 동시에 파동이다. 양자를 관측하면 중첩 상태에 있던 양자가 고유 상태로 붕괴한다. 어떤 고유 상태로 붕괴할지는 확률로 알 수 있다. ...

Phong Lighting Model 빛에서 고려해야할 중요한 요소는 광원과 표면이다. 광원과 표면을 어떻게 모델링 하는지는 반사 모델에 따라 다르다. 광원은 빛의 색상, 위치, 방향, 점광원, 면광원, 감쇠 특성, 빛의 편광 상태 등의 정보를 가질 수 있다. 표면 속성은 표면의 고유 색깔, 위치, 방향, 표면의 미세 구조, 거칠기, 투명도 등의 ...

렌더링 방정식이 무엇인가? 물체는 고유의 색깔이 존재한다. 광원에서 빛이 나와서 물체 표면에 반사 반사되어 우리 눈에 들어온다. 우리 눈에 들어온 빛의 세기에 따라 원뿔세포의 흥분 정도가 결정된다. 즉 빛이 반사되어 카메라로 들어오는 빛의 세기를 계산해야 한다. 그 빛의 세기를 결정짓는 방정식이 렌더링 방정식이다. [I(x,x’) = g(x,x’) ...