왜 ([x,\hat{p}] = i\hbar)인가? [(x \hat{p} - \hat{p} x)f(x) = x\hat{p} f(x) - \hat{p}xf(x)] [= x \left( -i\hbar \frac{\partial f(x)}{\partial x} \right) + i\hbar f(x) - x\left( -i\hbar \frac{\partia...

왜 연산자는 교환법칙이 성립하지 않는가? 불확정성 원리 때문이다. 만약 (\hat{x} \hat{p} = \hat{p} \hat{x})라면, [\hat{x} \hat{p} \Psi = \hat{p} \hat{x} \Psi] 가 성립된다. 오퍼레이터에 파동함수를 곱한다는것은 측정한다는것과 같다. 위 식의 해석은 운동량을 관측하고 위치를 관측한 결과와...

양자계에서의 조화 진동자란 무엇인가? 기본적으로 조화 진동자의 포텐셜은 다음과 같다. [V(x) = \frac{1}{2} kx^2 = \frac{1}{2} m \omega^2 x^2] [\omega \equiv \sqrt{ \frac{k}{m} }] 위 포텐셜을 슈뢰딩거 방정식에 넣고 풀면 된다. 풀이 방법은 사다리 연산자를 사용한 대수적인 방법...

무한 퍼텐셜 우물이 무엇인가? [V(x) = \begin{cases} 0 & 0 \leq x \leq a \infty & \text{otherwise} \end{cases}] 포텐셜이 위와 같이 주어지는 상황을 뜻한다. (V=\infty)인 곳에는 입자가 존재할 수 없다. (V=0)인 경우를 따져보자. 슈뢰딩거 방정식에 의해 다음과 ...

슈뢰딩거 방정식을 어떻게 푸는가? 슈뢰딩거 방정식은 (V)에 따라 비교적 간단하게 풀 수도, 아주 어려울 수도 있다. (V)는 보통 (\frac{1}{r^n})에 비례하는데, n이 작을수록 short range, 클 수록 long range라고 표현한다. long range일 수록 풀기 어려워진다. 그 이유는, 포텐셜 범위가 넓어지므로 그만큼 상호작용...

가우시안 분포를 어떻게 적분하는가? [\int_{-\infty}^{\infty}e^{-ax^2}dx = \sqrt{ \frac{\pi}{a} }] [\int_{-\infty}^{\infty}xe^{-ax^2}dx = 0] [\int_{-\infty}^{\infty}x^2e^{-ax^2}dx = \frac{1}{2a}\sqrt{ \frac{\pi}...

연산자란 무엇인가? 양자계에선 물리량을 연산자로 표현한다. 연산자는 함수에 적용하여 다른 함수를 반환하는 일종의 변환이다. 양자역학에서의 연산자는 파동함수에 작용하여 물리량을 추출하는 변환이다. 즉, 파동함수에 연산자를 적용하는 것은 관측하는 행위와 같다. [!error] 연산자에 교환법칙을 적용하지 마라.{title} (\Psi P)와 (P ...

물리량의 기댓값 또는 평균을 어떻게 계산하는가? 물리량 (\times) 확률을 모든 구간에 대해 계산하면 된다. 다음과 같다. 확률밀도함수가 이산 분포일 때: [\langle j \rangle = \sum_{j=0}^{\infty}j P(j)] 확률밀도함수가 연속 분포일 때: [\langle x \rangle = \int_{-\infty}^{\i...

왜 확률을 사용하는가? 모든 물질은 파동이기 때문이다. 만약 다양한 파장의 파동을 합치면, 위 그림과 같이 가운데가 볼록 튀어나온 모양이 된다. 이 경우엔 파동의 위치를 특정할 수 있다. 그렇다면, 위 파동의 파장은 얼마인가? 물어봤을 때, 몰라 라고 답할 수 밖에 없을 것이다. [\lambda=\frac{h}{p}] 드브로이 물질파 공식을 ...

힐베르트 공간이 무엇인가? 힐베르트 공간(Hilbert Space)이란 완비성을 갖춘 Inner Product Space (내적 공간)이다. 힐베르트 공간의 기저는 하나의 상태와 대응한다. 위치 공간, 운동량 공간, 에너지 공간, 스핀 공간 등등은 위치를 기저로 갖거나, 운동량을 기저로 갖거나 하는 각각의 독립적인 힐베르트 공간이다. 양자역학에서 연산...