양자계가 퍼텐셜에 구속속되거나, 구속되지 않는 기준이 무엇인가? 양자계가 퍼텐셜에 구속되면 상태가 양자화되고, 구속되지 않으면 연속적이다. 구속된다는 기준이 무엇일까까? 에너지를 갖고 있는 양자가 특정 퍼텐셜에 들어오는 상황을 상상하자. 두가지 시츄에이션이 생길 수 있다. (1) 양자가 퍼텐셜에 구속(bound) 되거나, (2) 그대로 튕겨져(scat...

푸리에 변환이 무엇인가? 푸리에 변환의 아이디어는 모든 파동, 펄스는 주파수가 다른 기본 파동((\sin, \cos))를 섞어서 표현 가능하다는 것이다. (\sin)과 (\cos)는 오일러 공식을 사용해서 복소 범위까지 한번에 (e^{ik x})로 표현할 수 있다. [e^{ik x} = \cos k x + i \sin k x] 이때 (k)는 파수(...

만약 퍼텐셜이 0인 곳에서 입자는 어떻게 거동할까? 대부분의 퀀텀 입자는 어떤 포텐셜에 구속되어있다. 모든 생명체는 지구의 중력 퍼텐셜에 구속되어 있는 것 처럼. 만약 퍼텐셜에 구속되어 있지 않는 입자는 어떻게 거동할까? 그런 입자를 자유 입자라고 부르고, 시간에 무관한 슈뢰딩거 방정식을 풀어보자. [- \frac{\hbar^2}{2m} \frac{...

지수 함수에 복소 연산자를 적용 가능한가? [(e^z)^* = e^{z^*}] 가 성립한다. 왜? (z=a + ib) ((a, b \in \mathbb{R}))라고 하자. [e^{a+ib} = e^a(e^{ib}) = e^a(\cos b + i\sin b)] [(e^{a+ib})^* = e^a(\cos b + i\sin b)^* = e^a(\c...

연산자에 Dagger를 적용하는게 무슨 의미인가? 임의의 연산자 (\hat{A})의 에르미트 켤레 (또는 수반 연산자) (\hat{A}^{\dagger})는 다음과 같이 정의한다. [\langle x, \hat{A}y \rangle = \langle \hat{A}^{\dagger}x, y \rangle] 예를들어, (\frac{d}{dx}) 연산자...

왜 ([x,\hat{p}] = i\hbar)인가? [(x \hat{p} - \hat{p} x)f(x) = x\hat{p} f(x) - \hat{p}xf(x)] [= x \left( -i\hbar \frac{\partial f(x)}{\partial x} \right) + i\hbar f(x) - x\left( -i\hbar \frac{\partia...

왜 연산자는 교환법칙이 성립하지 않는가? 불확정성 원리 때문이다. 만약 (\hat{x} \hat{p} = \hat{p} \hat{x})라면, [\hat{x} \hat{p} \Psi = \hat{p} \hat{x} \Psi] 가 성립된다. 오퍼레이터에 파동함수를 곱한다는것은 측정한다는것과 같다. 위 식의 해석은 운동량을 관측하고 위치를 관측한 결과와...

양자계에서의 조화 진동자란 무엇인가? 기본적으로 조화 진동자의 포텐셜은 다음과 같다. [V(x) = \frac{1}{2} kx^2 = \frac{1}{2} m \omega^2 x^2] [\omega \equiv \sqrt{ \frac{k}{m} }] 위 포텐셜을 슈뢰딩거 방정식에 넣고 풀면 된다. 풀이 방법은 사다리 연산자를 사용한 대수적인 방법...

무한 퍼텐셜 우물이 무엇인가? [V(x) = \begin{cases} 0 & 0 \leq x \leq a \infty & \text{otherwise} \end{cases}] 포텐셜이 위와 같이 주어지는 상황을 뜻한다. (V=\infty)인 곳에는 입자가 존재할 수 없다. (V=0)인 경우를 따져보자. 슈뢰딩거 방정식에 의해 다음과 ...

슈뢰딩거 방정식을 어떻게 푸는가? 슈뢰딩거 방정식은 (V)에 따라 비교적 간단하게 풀 수도, 아주 어려울 수도 있다. (V)는 보통 (\frac{1}{r^n})에 비례하는데, n이 작을수록 short range, 클 수록 long range라고 표현한다. long range일 수록 풀기 어려워진다. 그 이유는, 포텐셜 범위가 넓어지므로 그만큼 상호작용...