관측 가능양의 고유값들은 어떻게 구하지? (\hat{Q})의 고유값들을 어떻게 구할 수 있을까? (\hat{Q})가 행렬로 주어지는 경우, 미분 연산자로 주어지는 경우 두가지 경우로 구분할 수 있다. (1) 행렬 연산자의 경우 고유 방정식을 풀면 된다. [\hat{Q} \Psi = q \Psi \implies (\hat{Q} - qI) \Psi =...

결정된 상태와, 결정되지 않은 상태? 양자계의 한 상태는 다음과 같다. [\ket{\Psi}] 다음 고유 방정식을 만족하는 상태를, Observable (\hat{Q})에 대해 결정된 상태라고 한다. [\hat{Q} \ket{\Psi} = q \ket{\Psi}] [!question] 왜 (\hat{Q})에 대한 결정된 상태가 고유 방정...

Observable (관측 가능량)이 무엇인가? 고전역학에서 관측 가능한 양은 (Q(x,p))와 같이 표현된다. 예를 들어, 운동 에너지와 각 운동량은 다음과 같다. [T(x,p) = \frac{p^2}{2m}] [L(x,p) = x \times p] 이는 같은 조건에서 측정시 항상 동일한 결과를 제공한다. 그러나, 양자역학에선 관측량 (Q(x...

양자계의 일반적인 성질은 무엇인가? 무한 퍼텐셜 우물, 조화 진동자, 디렉 퍼텐셜, 유한 퍼텐셜 우물은 양자계에서 얼마 안되는 슈뢰딩거 방정식을 풀 수 있는 시스템이다. 대부분의 슈뢰딩거 방정식은 풀 수 없기 때문에, 이 얼마 안되는 사례에서 일반적인 성질을 뽑아내야 한다. 파동함수는 힐베르트 공간 위의 벡터이며, 연산자는 선형 변환의 형태로 파동함...

V가 디렉 델타함수면 어떻게 될까? [\delta(x) = \begin{cases} 0 & x \neq 0 \infty & x=0 \end{cases}] [\int_{-\infty}^{\infty} \delta(x) dx = 1] 디렉 델타 함수는 위 성질을 가진다. 다음 퍼텐셜을 생각해보자. [V(x) = - \alpha \d...

양자계가 퍼텐셜에 구속속되거나, 구속되지 않는 기준이 무엇인가? 양자계가 퍼텐셜에 구속되면 상태가 양자화되고, 구속되지 않으면 연속적이다. 구속된다는 기준이 무엇일까까? 에너지를 갖고 있는 양자가 특정 퍼텐셜에 들어오는 상황을 상상하자. 두가지 시츄에이션이 생길 수 있다. (1) 양자가 퍼텐셜에 구속(bound) 되거나, (2) 그대로 튕겨져(scat...

푸리에 변환이 무엇인가? 푸리에 변환의 아이디어는 모든 파동, 펄스는 주파수가 다른 기본 파동((\sin, \cos))를 섞어서 표현 가능하다는 것이다. (\sin)과 (\cos)는 오일러 공식을 사용해서 복소 범위까지 한번에 (e^{ik x})로 표현할 수 있다. [e^{ik x} = \cos k x + i \sin k x] 이때 (k)는 파수(...

만약 퍼텐셜이 0인 곳에서 입자는 어떻게 거동할까? 대부분의 퀀텀 입자는 어떤 포텐셜에 구속되어있다. 모든 생명체는 지구의 중력 퍼텐셜에 구속되어 있는 것 처럼. 만약 퍼텐셜에 구속되어 있지 않는 입자는 어떻게 거동할까? 그런 입자를 자유 입자라고 부르고, 시간에 무관한 슈뢰딩거 방정식을 풀어보자. [- \frac{\hbar^2}{2m} \frac{...

지수 함수에 복소 연산자를 적용 가능한가? [(e^z)^* = e^{z^*}] 가 성립한다. 왜? (z=a + ib) ((a, b \in \mathbb{R}))라고 하자. [e^{a+ib} = e^a(e^{ib}) = e^a(\cos b + i\sin b)] [(e^{a+ib})^* = e^a(\cos b + i\sin b)^* = e^a(\c...

연산자에 Dagger를 적용하는게 무슨 의미인가? 임의의 연산자 (\hat{A})의 에르미트 켤레 (또는 수반 연산자) (\hat{A}^{\dagger})는 다음과 같이 정의한다. [\langle x, \hat{A}y \rangle = \langle \hat{A}^{\dagger}x, y \rangle] 예를들어, (\frac{d}{dx}) 연산자...