일반화된 불확정성 원리가 무엇인가? 임의의 Observable (\hat{A}, \hat{B})에 대한 불확정성 원리를 유도하자. [\sigma_{A}^2 = \langle (A - \langle A \rangle)^2 \rangle] [= \braket{ \Psi \mid (\hat{A} - \langle A \rangle)^2 \Psi }] ...

양자계를 어떻게 예측할 수 있는가? 어떤 양자 시스템을 완전히 이해했다는 것은, 그 시스템이 가능한 모든 상태와 그 확률을 얻어내는 것과 같다. 가능한 모든 상태를 알아낸다는 것은, 힐베르트 공간을 이루는 Complete한 기저와 그 계수들 (c_{n}), (c(z))를 찾아내는 것과 동등하다. 이때 Complete한 기저는 Observable Ope...

일반화된 통계적 해석이 무엇인가? 파동함수는 하나의 상태와 같다. 특정 상태를 실험으로 관측하면, 하나의 실수 값을 얻게 된다. 이를 양자역학적 언어로 표현하면 ’(\ket{\Psi}) 상태의 양자계의 (Q(x,p))를 측정하면 Hermitian (\hat{Q}(\hat{x}, \hat{p})) 연산자의 고유값 중 하나를 얻는다.’ 와 동치다. 만약...

고유 함수는 무엇을 의미하는가? Observable의 고유 함수는, Observable을 측정한 후 시스템의 상태와 같다. 이 고유함수를 규격화할 수 있다면 정규 직교 집합을 이루고, 완비성을 갖추고 있으므로 Hillbert 공간을 Span하는 기저로 사용될 수 있다. (1) 왜 Observable의 고유함수를 규격화할 수 있다면 정규 직교 집합을 ...

왜 고유값이 측정값인가? 그것이 양자역학의 공리이기 때문이다. 양자역학은 아직 개척하고 있는 미지의 분야다. 그러나, 지금까지 수학적으로 한 모델링과 실험 결과가 일치하기 때문에 받아들이는 공리가 존재한다. 그 공리는 바로 ‘Observable을 측정하면 Observable에 해당하는 Operator의 고유값 중 하나가 관측된다.‘이다. 게다가 Obs...

관측 가능양의 고유값들은 어떻게 구하지? (\hat{Q})의 고유값들을 어떻게 구할 수 있을까? (\hat{Q})가 행렬로 주어지는 경우, 미분 연산자로 주어지는 경우 두가지 경우로 구분할 수 있다. (1) 행렬 연산자의 경우 고유 방정식을 풀면 된다. [\hat{Q} \Psi = q \Psi \implies (\hat{Q} - qI) \Psi =...

결정된 상태와, 결정되지 않은 상태? 양자계의 한 상태는 다음과 같다. [\ket{\Psi}] 다음 고유 방정식을 만족하는 상태를, Observable (\hat{Q})에 대해 결정된 상태라고 한다. [\hat{Q} \ket{\Psi} = q \ket{\Psi}] [!question] 왜 (\hat{Q})에 대한 결정된 상태가 고유 방정...

Observable (관측 가능량)이 무엇인가? 고전역학에서 관측 가능한 양은 (Q(x,p))와 같이 표현된다. 예를 들어, 운동 에너지와 각 운동량은 다음과 같다. [T(x,p) = \frac{p^2}{2m}] [L(x,p) = x \times p] 이는 같은 조건에서 측정시 항상 동일한 결과를 제공한다. 그러나, 양자역학에선 관측량 (Q(x...

양자계의 일반적인 성질은 무엇인가? 무한 퍼텐셜 우물, 조화 진동자, 디렉 퍼텐셜, 유한 퍼텐셜 우물은 양자계에서 얼마 안되는 슈뢰딩거 방정식을 풀 수 있는 시스템이다. 대부분의 슈뢰딩거 방정식은 풀 수 없기 때문에, 이 얼마 안되는 사례에서 일반적인 성질을 뽑아내야 한다. 파동함수는 힐베르트 공간 위의 벡터이며, 연산자는 선형 변환의 형태로 파동함...

V가 디렉 델타함수면 어떻게 될까? [\delta(x) = \begin{cases} 0 & x \neq 0 \infty & x=0 \end{cases}] [\int_{-\infty}^{\infty} \delta(x) dx = 1] 디렉 델타 함수는 위 성질을 가진다. 다음 퍼텐셜을 생각해보자. [V(x) = - \alpha \d...