2025-09-19
Reflecting
Thermal and Statisical Physics I
close system 내의 모든 입자 \(q_{i}, p_{i}\)의 초기조건을 알면, \(q_{i}(t), p_{i}(t)\)를 알 수 있을까?
How to assign probability to a microstate? microstate에 probability를 할당한다는게 무슨 의미일까? 그 전에, microstate는 무엇일까?
하나의 Phase Space를 생각해보자. 우리가 생각해볼 Phase Space란, System을 구성하는 모든 입자의 위치와 운동량을 축으로 갖는 공간이다. 즉, Phase Space 위의 점 하나가 시스템 전체 microstate를 의미한다.
아니 그러면 입자가 아보가드로수만큼 있을텐데 그럼 차원이 아보가르도수 그 이상으로 있는거야? 위상공간이? 맞다. 위상공간의 차원은 입자가 아보가르도수만큼 있다면, 아보가드로수의 6배의 달하는 차원의 무시무시한 공간을 상상한다. 3차원 공간과, x, y, z 방향의 운동량 총 한개의 입자당 6개의 차원이 필요하다.
과학이란, 먼저 가정을 하고, 이론을 정립 후 실험과 맞춰본다. 실험과 맞지 않으면, 가정을 새로한다. 어떤 가정을 할까?
The phase trajectory passes through all the accessible states in the course of sufficiently long time. 충분히 긴 시간동안 위상 궤적은 접근 가능한 모든 상태를 통과한다. 이를 Ergodicity hypothesis “ergodic”성이라고 한다。
위상 궤적이 뭔데? 접근 가능한 모든 상태란 뭔데? 위상 궤적이란, 시간이 지남에따라, 시스템의 상태가 변하면서 위상 공간 위에서 그 시스템에 해당하는 점이 그리는 경로 또는 궤적이다.
접근 가능한 모든 상태란, 에너지보존, 운동량보존을 위반하지 않는 선에서 가질 수 있는 모든 미시상태의 집합을 의미한다. 시스템의 총 에너지가 100J이면, 닫힌 계라면 101J은 도달할 수 없으므로, 그 상태는 접근 불가능한 상태와 같다.
이 Accesible state는 위상공간 위 한 Surface로 표현되고, 이 Surface를 Hyper surface라고 한다.
또 중요한 가정이 있다. Postalate of Equilibrum stat. mech. A closed System in equilibrium is equally likely to be found in any of accessible states. 평형 상태에 있는 닫힌 시스템은, 접근 가능한 어떤 상태에서든 동일한 확률을 갖는다고 가정하자.
그리고 Indistinguishability. 동일한 종류의 입자, 분자, 전자는 서로 구별하는 것이 불가능하다고 믿는다.
위 두 가정을 통해, 입자의 움직임을 하나하나 쫒지 않아도 단순히 가능한 미시상태의 가짓수’\(\Omega\)‘를 세는 것 만으로도 시스템의 통계적 특성을 파악할 수 있다.
그리고 우리가 말하는 Phase Space의 한 점이란, \(\Delta q_{i} \Delta p_{i}\)라는 Volume의 한 면적이다. 그 이유는 Heisenberg’s Uncertainty Principle에 의해 는 h보다 작은 수를 허용하지 않기 때문이다. 때문에 최솟값은 \(\Delta q_{i} \Delta p_{i} = h\)일 때이며, 이 때가 바로 위상 공간 위의 한 점이다.
이제 중요한 물리량을 정의한다. 에너지가 \([E, E + \delta E]\)인 Accesible states를 가정하자. 그냥 에너지가 \(E\)인 System을 정의하면 되지, 왜 범위로 지정할까? 바로 정확한 에너지 E를 갖는 System은 양자역학적으로 불가능하다고 알려져있기 때문이다.
\[\Delta E \Delta t \geq \frac{\hbar}{2}\]이 불확적성 원리는 ,측정 시간 \(\Delta t\)가 유한하다면 필연적으로 에너지는 불확정성 \(\Delta E\)를 가질 수 밖에 없음을 시사한다. 때문에 에너지 범위가 \([E, E + \delta E]\) System을 가정한다.
첫번째 물리량은, Phase Space Voulme of accessible states with energy in \([E, E + \delta E]\)
\[\Gamma(E) \delta E\]이다. 이 물리량이 뭘까? 이 물리량의 차원은 뭘까? \(\Gamma(E)\)란, 단위 에너지당 위상 공간의 부피와 같다. 위상 공간의 부피란, 가능한 미시상태의 선택지와 같다. 단위 에너지당 위상 공간의 부피가 크다는 것은, 어떤 에너지 E 근처에서 시스템이 가질 수 있는 미시상태가 아주 많다는 것과 같다. 상태의 가짓수가 많다는 것은, 무질서하다는 것과 동등하다. 이것은 엔트로피가 높은 상태와 같다.
\(\Gamma(E)\)의 차원은 위상 공간의 부피를 에너지로 나눈 차원과 같다. 위상 공간의 부피 차원은
\[\text{Action}^{(3N)}\]이다. Action이란 무엇인가? 위치 x 운동량이다.
\[kg \cdot m^2 / s = [\text{Energy}] \times [\text{TIme}] = [\text{Length}] \times [\text{Momentum}]\]위상 공간은 위치 \(\cdot\) 운동량이고, 이것이 입자의 개수만큼 있으므로
\[\text{Action}^{3N}\]차원을 갖는다.
그렇다는 것은, \(\Gamma(E) \delta E\)이란 에너지가 \([E, E + \delta E]\)인 Accessible states가 가질 수 있는 모든 microstate의 총량을 나타내는 물리량이다. 이는 위상공간의 부피와 같다.
두번째 물리량은, Number of accessible states with energy in \([E, E+ \delta E]\)
\[\Omega (E) \delta E\]이 물리량은, 실제로 에너지가 \([E, E+\delta E]\)인 Accessiable State가 가질 수 있는 microstate의 ‘개수’를 의미한다. 즉, \(\Gamma(E)\)를 알고 있다면 \(\Omega(E)\)를 알 수 있다.
\(\Omega(E)\)가 무엇인가? 이는 단위 에너지당 microsate의 개수를 의미한다. 차원은 무엇인가? ‘개수’는 차원이 없으므로, \(\frac{1}{Energy}\) 차원을 갖는다.
즉 \(\Omega(E)\)와 \(\Gamma(E)\)를 연결짓기 위해서, \(\Gamma (E)\)를 \(\text{Action}^{(3N)}\) 차원만큼 나눠줘야 한다. 플랑크 상수의 차원이 바로 \(\text{Action}\)과 같으므로, \(h^{3N}\)으로 나눈다.
\[\Omega(E) = \frac{\Gamma(E)}{h^{3N} N!}\]\(N!\)으로 나누는 이유가 무엇인가? 동일한 입자는 구별 불가능하다는 Indistinguishability 성질 때문이다. \(\Omega(E)\delta E\)는 가능한 microstate의 개수다. 이는, 가능한 microstate의 경우의 수와 같다. 위상 공간의 부피를 작용^(3N)으로 나누면 무차원 수가 나온다. 그러나 이 무차원 수는, 입자 N개가 각각 위상 공간 위의 다른 축을 가지고, 각각 독립적으로 세어진 경우와 같다. 예를들어, 입자 1의 위치는 3이고 운동량이 5다. 그리고 또 다른 상태에서 입자 2의 위치는 3이고 운동량이 5다. 그러나 근본적으로 입자 1과 입자 2는 구분할 수 없으므로, 그 둘은 동일한 상태와 같다. 이 중복으로 세어진 케이스를 제거하기 위해, 입자의 개수 \(N!\)만큼 나눈다.
세번째 물리량은, Number of accessible states with energy < E \(= \Phi(E)\) 이는 에너지가 E보다 작은 모든 Accessible states의 총 개수와 같다. 이 또한 개수이기 때문에 무차원이다. 따라서 \(\Phi(E+ \delta E) - \Phi(E)\)의 값은, \([E, E+\delta E]\) 사이의 Accessible state의 개수와 같다. 그리고 이것은 정확히 \(\Omega(E)\delta E\)와 같다.
\[\Phi(E+\delta E) - \Phi(E) = \Omega(E)\delta E\]그렇다면, \(\Omega(E)\)와 \(\Phi(E)\)의 관계는 서로 미적분 관계에 있음을 알 수 있다.
\[\Omega(E) = \Phi'(E)\]이 물리량은 usefull하다. 구 껍질을 계산하는 것보다, 구의 부피를 계산한 후 미분하는게 더 쉬울 때가 있기 떄문이다. 따라서 \(\Phi(E)\)를 먼저 계산하고, 그것을 미분하여 \(\Omega(E)\)를 얻어내는게 더 쉬울 때가 있다.
특정 microstate를 가질 확률을 어떻게 할당할 수 있는가? 질문에 대한 답은 무엇인가? 우리는 등확률 원리를 가정하여, 모든 accessible state한 microstate은 확률이 동등하다. 때문에 특정 에너지 \([E, E+\delta]\)의 accessible state의 microstate의 개수, 즉 \(\Omega(E)\delta E\)를 구하는 행위 자체가 바로 각 microstate에 \(\frac{1}{\Omega(E)\delta E}\)의 확률을 부여하는 것과 다름없다.
경우의 수가 가장 많다는 것은, \(\Omega(E)\delta E\)가 가장 크다는거네? 그럼 각 미시상태가 가질 확률은 작아지는거잖아? 그런데 왜 엔트로피가 높은, 가능한 경우의 수가 가장 많을 확률이 높다는거지?
[!note] 열및통계학을 이제부터 시작해보자. 가장 먼저 알아야할 개념, Concept는 무엇인가?{title}
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행복한 기분이다.