2025-09-15
Reflecting
Thermal and Statistical physics I
binomial distribution은 다음과 같다.
\[P(m) = \frac{N!}{\left( \frac{N+m}{2} \right)!\left( \frac{N-m}{2} \right)!}p^{(N+m) / 2} q^{(N-m) / 2}\]N이 아주 커지면? \(N\to \infty\)이면 어떻게 될까?
\(N!\)을 다루기 위해, 양쪽에 \(\ln\)을 취해보자.
\[\tilde{P}(n_{r}) = \frac{N!}{n_{r}!(N-n_{r})!}p^{n_{r}}q^{N-n_{r}}\] \[\ln \tilde{P}(n_{r}) = \ln N! - \ln n_{r}! - \ln(N-n_{r})! + n_{r}\ln p + (N-n_{r})\ln q\]stirling’s approximation을 도입한다.
\[= N\ln N - N - n_{r}\ln n_{r} + n_{r} - (N-n_{r})\ln(N-n_{r}) + N-n_{r} + n_{r} \ln p + (N-n_{r})\ln q\] \[= n_{r}\ln N + (N-n_{r})\ln N - n_{r}\ln n_{r} - (N-n_{r})\ln(N-n_{r}) + n_{r}\ln p + (N-n_{r})\ln q\] \[= -n_{r}(\ln n_{r} -\ln N - \ln p) - (N-n_{r})(\ln(N-n_{r}) - \ln N - \ln q)\] \[= -n_{r} \ln \frac{n_{r}}{Np} - (N-n_{r}) \ln \frac{N-n_{r}}{Nq}\]Let, \(s_{r} \equiv \frac{n_{r}}{N}\)라 하면
\[= - N \left( s_{r} \ln \frac{s_{r}}{p} + (1-s_{r}) \ln\left( \frac{1- s_{r}}{q} \right) \right)\] \[\equiv -N f(s_{r})\] \[\implies \tilde{P}(n_{r}) = e^{-Nf(s_{r})}\]과 같다. \(f(s_{r})\)은 무엇일까?
\[f(s_{r}) = s_{r} \ln \left( \frac{s_{r}}{p} \right) + (1-s_{r}) \ln\left( \frac{1-s_{r}}{q} \right)\] \[f'(s_{r})= \ln \left( \frac{s_{r}}{p} \right) + \frac{s_{r}}{s_{r}} - \ln\left( \frac{1-s_{r}}{q} \right) + \frac{1-s_{r}}{1-s_{r}} (-1)\] \[= \ln \left( \frac{s_{r}}{p} \right) - \ln\left( \frac{1-s_{r}}{q} \right)\]\(s_{r} = p\)가 되면, \(f'(p) = 0\)이다. 이때 극값을 갖는다.
\[f''(s_{r}) = \frac{1}{s_{r}} - \frac{-1}{1-s_{r}} = \frac{1}{s_{r}} + \frac{1}{1-s_{r}}\] \[f''(p) = \frac{1}{p} + \frac{1}{1-p} = \frac{1}{p} + \frac{1}{q}\] \[= \frac{1}{pq} > 0\]기울기의 변화량이 증가한다. 따라서 p에서 minimum을 갖는다.
\[f(s_{r}) \neq 0\]인 구간에서는, \(\tilde{P}(s_{r}) = e^{{-N f(s_{r})}}\)이 \(N\)이 매우 큰 값이므로 \(\tilde{P}(s_{r}) \to 0\)으로 근사된다. 때문에, \(s_{r}\)이 \(p\) 부근에서만 의미있다.
\[f(s_{r}) \simeq f(p) + f'(p)(s_{r}-p) + \frac{f''(p)}{2!}(s_{r}-p)^2 + \dots\]앞의 두 항은 0이므로, 세번쨰 항으로 근사할 수 있다.
\[f(s_{r}) \simeq \frac{1}{2pq}(s_{r} - p)^2\]따라서 다음과 같다.
\[\tilde{P}(s_{r}) = e^{- \frac{N}{2pq}(s_{r} - p)^2}\] \[= e^{- \frac{N}{2pq} \frac{1}{N^2} (n_{r} - Np)^2}\] \[= e^{- \frac{1}{2Npq}(n_{r} - Np)^2}\]이때, \(n_{r}\)의 평균이 얼마인가?
\[\overline{n_{r}} = \sum_{n_{r}^{N}=0} n_{r} \tilde{P}(n_{r})\] \[= \sum_{m} \frac{N+m}{2}P(m)\] \[= \overline{\frac{N+m}{2}}\] \[= \frac{N}{2} + \frac{\bar{m}}{2}\] \[= \frac{1}{2}N + \frac{1}{2}N(p-q)\] \[= \frac{1}{2}N(p+q) + \frac{1}{2}N(p-q)\] \[= Np\]이때, \(n_{r}\)의 분산이 얼마인가?
\[\overline{(\Delta n_{r})^2}\]그리고 다음과 같다.
\[\Delta n_{r} = n_{r} - \overline{n_{r}}\] \[= \frac{N+m}{2} - \overline{\frac{N+m}{2}}\] \[= \frac{N+m}{2} - \frac{N}{2} - \frac{\bar{m}}{2}\] \[= \frac{m}{2} - \frac{\bar{m}}{2}\] \[= \frac{1}{2}(m - \bar{m})\] \[= \frac{1}{2} \Delta m\]따라서 다음과 같다.
\[\overline{(\Delta n_{r})^2} = \overline{\left( \frac{1}{2} \Delta m \right)^2}\] \[= \frac{1}{4} \overline{(\Delta m)^2}\] \[= Npq\]결론적으로, N이 매우 클 때 이항분포는 다음과 같은 정규분포로 근사된다.
\[\tilde{P}(n_{r}) = e^{- \frac{1}{2 \overline{(\Delta n_{r})^2}}(n_{r} - \overline{n_{r}})^2}\]Thermal and Statisical Physics I
기체 입자가 N~10^23을 어떻게 기술할까?
TIme average
\[\lim_{ T \to \infty } \frac{1}{T} \int_{t }^{t+T}n_{l}(t')dt' \to \bar{n_{l}}\]기체분자를 왼쪽에 몰아두고 칸막이로 막아둔다면, 시간이 지나면 양쪽이 반반 평형을 이룰거임 relaxtion time이고, 이 tiem 이후 time reversal symmtric임
그러게 왜 반대로는 안일어나지? 왜 넓게 퍼지기만 하고 그 반대상황은 일어나지 않을까? 뉴턴법칙은 위반하지 않음.
Equilibrium 상태에 도달했다? 이 상태는 time reversal symmtric(시간을 뒤집어도 눈치채지 못함)함.
Equilibrium을 어떻게 기술하는가?
microstate는 \(\vec{r}_{i}(t), \vec{p}_{i}(t)\) 두개 알면 기술 가능 macrostate는
사고실험 추를 한쪽에 물레방아 한쪽에 무거운 바위를 매달고 무거운 바위를 놓으면 물레방아가 돌면서 물이 뜨거워지겠지? 반대로 뜨거운 물을 놔두면 물이 식으면서 바위를 들어올릴 수 없나? 에너지 보존법칙은 적용되잖아. 이게 안됨. 왜? 바위는 하나의 역학 에너지임 그리고 물은 10^23의 아주 많은 물 분자에게 에너지가 퍼져있음 즉 이 에너지를 모아서 바위에 전달해야 하는거고, 이런 일은 일어나지 않음
만약 문을 가지고 기체분자가 한쪽에서 들어올떈 문을 열고 반대쪽에서 들어올떈 문을 닫으면 기체를 한쪽에 몰아둘 수 있음. 즉 엔트로피를 감소할 수 있음.이 Maxwell’s demon이 있으면 엔트로피가 감소할 수 있네? 이게 뭐지? demon은 즉 information을 알고있다면 엔트로피를 감소시킬 수 있음. information이 entropy가 관계있나보네? 그럼 information이 뭘까?
Improve:
나. 내 상태를 부정하지 않고 지금 그대로를 인정하고 토닥여주기.
Thanks:
오늘 움직일 수 있었던 나 자신에게 감사하다.
Emotion:
오늘은 전체적으로 좀 평온한 감정이었음.