양자역학 9. 무한 퍼텐셜 우물이 무엇인가

무한 퍼텐셜 우물이 무엇인가?

\[V(x) = \begin{cases} 0 & 0 \leq x \leq a\\ \infty & \text{otherwise} \end{cases}\]

포텐셜이 위와 같이 주어지는 상황을 뜻한다. \(V=\infty\)인 곳에는 입자가 존재할 수 없다. \(V=0\)인 경우를 따져보자. 슈뢰딩거 방정식에 의해 다음과 같다.

\[E\psi = - \frac{\hbar^2}{2m} \frac{d^2\psi}{dx^2} \implies \frac{d^2\psi}{dx^2} = - \frac{2mE}{\hbar^2} \psi\]

Let, \(k^2 = \frac{2mE}{\hbar^2}\).

\[\frac{d^2\psi}{dx^2} = - k^2\psi\]

위 미분방정식을 만족하는 해는 \(\psi(x)= Ae^{ikx} + Be^{-ikx}\)와 같다. 오일러 항등식 \(e^{i\alpha }= \cos \alpha + i\sin \alpha\)를 사용하면 \(\psi(x) = A\sin kx + B\cos kx\)로 나타낼 수 있다. \(\psi(x)\)는 연속이므로, \(\psi(0)=\psi(a)=0\)을 만족해야 한다.

\[A\sin k(0) + B\cos k(0) = 0 \implies B=0\] \[A\sin ka = 0 \implies k = \frac{n\pi}{a} ~~(n=1,2,\dots)\]

\(\psi(x)\)는 정규화되어야 한다.

\[\int_{-\infty}^{\infty} \lvert \psi \rvert^2dx = 1 \implies \int_{-\infty}^{\infty} \left\lvert A\sin \frac{n\pi}{a}x \right\rvert^2 dx\] \[= A^2 \int_{0}^{a} \sin^2\frac{n\pi}{a}x dx = A^2 \int_{0}^{a} \frac{1-\cos \frac{2n\pi}{a}}{2}dx\]

\(\cos\)항은 적분하면 0이다.

\[A^2\left( \frac{a}{2} \right)=1 \implies A = \sqrt{ \frac{2}{a} }\] \[\therefore ~~ \psi(x) = \sqrt{ \frac{2}{a} } \sin \frac{n\pi}{a}x\]

\(E_{n}\)을 구해보자. 슈뢰딩거 방정식을 통해 구하지 않아도 비교적 쉽게 구할 수 있다.

\[k^2 = \frac{2mE}{\hbar^2} \implies E_{n} = \frac{k_{n}^2 \hbar^2}{2m} = \frac{n^2 \pi^2 \hbar^2}{2ma^2}\]

\(c_{n}\)을 구해보자. \(t=0\)일 때 일반해 공식에서 푸리에 방법을 사용하면 된다. 파동함수는 orthogonality하다. 즉, 두 파동함수를 내적하면 같은 파동함수는 1, 다르면 0이어야 한다. 복소 함수의 내적 정의는 다음과 같이 정해진다.

\[\int \psi_{m}(x)^* \psi_{n}(x) dx = \delta_{mn}\]

이를 이용하여 \(t=0\)일 때 푸리에 방법을 사용하자.

\[\Psi(x,0)=\sum_{n=1}^{\infty} c_{n} \psi_{n}(x)\] \[\implies \int_{0}^{a} \psi_{m}(x)^* \Psi(x,0) dx = \int_{0}^{a}\psi_{m} \sum_{n=1}^{\infty} c_{n}\psi_{n}(x) dx\] \[= \sum_{n=1}^{\infty}c_{n} \int_{0}^{a} \psi_{m}\psi_{n}dx = \sum_{n=1}^{\infty}c_{n} \delta_{mn} = c_{m}\] \[\therefore ~~ c_{n} = \int_{0}^{a} \psi_{n}(x)^* \Psi(x,0)dx\]

따라서 \(0\leq x \leq a\) 범위의 무한 퍼텐셜 우물의 일반해를 구했다.

\[\therefore ~~ \Psi(x,t) = \sum_{n=1}^{\infty} c_{n} \psi_{n}(x) e^{-i E_{n}t / \hbar}\] \[= \sum_{n=1}^{\infty} \left( \int_{0}^{a} \psi_{n}(x)^* \Psi(x,0)dx \right) \left( \sqrt{ \frac{2}{a} } \sin \frac{n\pi}{a}x \right) e^{-i (n^2 \pi^2 \hbar /2m a^2)t}\]

에너지, 해밀토니안의 기댓값은 얼마인가?

시스템이 중첩상태일 땐 에너지 \(E_{n}\)을 갖고, 고유 상태일 땐 확정된 에너지 \(E\)를 갖는다고 하자. (1) 고유 상태일 때 해밀토니안의 기댓값

\[\langle H \rangle = \int \Psi^* \hat{H} \Psi dx = \int \Psi^* E \Psi dx = E\]

(2) 중첩 상태일 때 해밀토니안의 기댓값 퍼텐셜이 시간에 대해 무관하면, 해밀토니안 또한 시간에 대해 무관하다. \(t=0\)에 대해서만 생각해도 일반성을 잃지 않는다.

\[\langle H\rangle = \int \Psi^* \hat{H} \Psi dx = \int \left( \sum c_{m} \psi_{m} \right)^* \hat{H} \left( \sum c_{n} \psi_{n} \right)dx\] \[\sum \sum c_{m}^* c_{n} E_{n}\int \psi_{m}^* \psi_{n}dx = \sum \sum c_{m}^* c_{n} E_{n} \delta_{mn} = \sum \lvert c_{n} \rvert^2 E_{n}\]

해밀토니안 연산자는 전체 에너지 \(E_{n}\)과 같다. 기댓값 정의에 따라, \(\lvert c_{n} \rvert^2\)는 에너지 \(E_{n}\)의 확률밀도함수임을 알 수 있다. 즉, \(\lvert c_{n} \rvert^2\)는 관측했을 때 \(E_{n}\) 에너지를 얻을 확률로 해석 가능하다.

에너지, 해밀토니안의 분포는 어떻게 되는가?

헤밀토니안의 제곱의 평균은

\[\langle H^2 \rangle = \int \Psi^* \hat{H}^2 \Psi dx = E^2 \int \Psi^* \Psi dx = E^2\]

와 같으므로, 표준 편차는

\[\sigma_{H} = \sqrt{ \langle H^2 \rangle - \langle H \rangle^2 }\] \[= \sqrt{ E^2 - E^2 } = 0\]

이는 코펜하겐 해석과 일치한다. 중첩 상태가 붕괴되어 고유 상태가 되면, 아무리 다시 관측해도 같은 에너지 상태 \(E\)를 보게 될 것이다.