양자역학 7. 가우시안 분포를 어떻게 적분하는가

가우시안 분포를 어떻게 적분하는가?

\[\int_{-\infty}^{\infty}e^{-ax^2}dx = \sqrt{ \frac{\pi}{a} }\] \[\int_{-\infty}^{\infty}xe^{-ax^2}dx = 0\] \[\int_{-\infty}^{\infty}x^2e^{-ax^2}dx = \frac{1}{2a}\sqrt{ \frac{\pi}{a} }\]

위 세 공식을 알아두면 도움이 된다.

[!NOTE]- 첫번째 공식 증명{title}

\[I=\int_{-\infty}^{\infty}e^{-ax^2}dx = \int_{-\infty}^{\infty}e^{-ay^2}dy\]

로 두고, \(I^2\) 이중 적분을 풀면 된다.

\[I^2 = \left( \int_{-\infty}^{\infty}e^{-ax^2}dx \right)\left( \int_{-\infty}^{\infty}e^{-ay^2}dy \right)\] \[= \int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty} e^{-a(x^2+y^2)}dxdy\]

\((x,y) \to (r,\theta)\)로 좌표변환하자. 자코비안 \(r\)가 붙는다.

\[=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\infty} e^{-ar^2}r dr d\theta\] \[= 2\pi \left[ - \frac{1}{2a} e^{-ar^2} \right]^\infty_{0} = \frac{\pi}{a}\] \[\therefore ~~ I = \sqrt{ \frac{\pi}{a} }\]

[!NOTE]- 두번째 공식 증명{title} 가우시안 분포 \(e^{-ax^2}\)는 위로 볼록한 우함수 모양이고, \(x\)는 기함수다. 기함수 \(\times\) 우함수 \(=\) 기함수이므로 전체 적분시 0이 된다.

[!NOTE]- 세번째 공식 증명{title} 1번 공식에서 양 변을 \(a\)에 대해 편미분하면 유도할 수 있다.

\[\int_{-\infty}^{\infty}e^{-ax^2}dx = \sqrt{ \frac{\pi}{a} }\] \[\implies \frac{\partial}{\partial a} \int_{-\infty}^{\infty}e^{-ax^2}dx = \sqrt{ \pi }\frac{\partial}{\partial a}a^{-1/2}\] \[\implies \int_{-\infty}^{\infty} \frac{\partial}{\partial a} e^{-ax^2}dx = \sqrt{ \pi } \cdot \left( -\frac{1}{2} \right) \cdot a^{-3/2}\] \[\implies \int_{-\infty}^{\infty}-x^2e^{-ax^2}dx = - \frac{1}{2a} \sqrt{ \frac{\pi}{a} }\] \[\therefore ~~ \int_{-\infty}^{\infty}x^2e^{-ax^2}dx = \frac{1}{2a}\sqrt{ \frac{\pi}{a} }\]

보충) 마지막 식에서 \(a\)에 대해 편미분하면, 가우시안 분포 앞에 \(x^{2k}\)가 곱해진 꼴의 적분을 항상 알 수 있다.

\[\int_{-\infty}^{\infty}x^4 e^{-ax^2}dx = \frac{3}{4a^2} \sqrt{ \frac{\pi}{a} }\]