양자역학 5. 물리량의 평균, 분산, 확률을 계산하는 방법

물리량의 기댓값 또는 평균을 어떻게 계산하는가?

물리량 \(\times\) 확률을 모든 구간에 대해 계산하면 된다. 다음과 같다. 확률밀도함수가 이산 분포일 때:

\[\langle j \rangle = \sum_{j=0}^{\infty}j P(j)\]

확률밀도함수가 연속 분포일 때:

\[\langle x \rangle = \int_{-\infty}^{\infty}x \rho(x) dx\]

위치 x의 기댓값은 \(\lvert \Psi(x,t) \rvert^2\)가 연속이기 때문에, 다음과 같이 계산하면 된다.

\[\langle x \rangle = \int_{-\infty}^{\infty}x \lvert \Psi(x,t) \rvert^2 dx = \int_{-\infty}^{\infty} \Psi^*(x,t) x \Psi(x,t) dx\]

이때 x의 기댓값이란, 한 입자의 위치를 계속 측정해서 나오는 평균이 아니다. 입자를 한번 측정하면 파동함수가 붕괴되어 그 이후의 측정 결과는 동일하다. 그것보단, 같은 \(\Psi\) 상태를 가진 계의 앙상블을 준비하여 동시에 측정했을 때 나오는 결과의 평균이라는 의미가 더 적합하다.

운동량 p의 기댓값은 다음과 같이 계산하면 된다.

\[\langle p \rangle = \int_{-\infty}^{\infty}\Psi^* \hat{p} \Psi dx = \int \Psi^* \left( -i\hbar \frac{\partial}{\partial x} \right) \Psi dx\]

만약, \(\Psi(x,t)\)로 계산해서 얻은 \(\langle x \rangle\)를 알고 있다면 운동량의 기댓값은 간단하게 구할 수 있다.

\[\langle p \rangle = m \frac{d\langle x \rangle}{dt}\]

[!NOTE]- 증명{title} 사실 양자역학에서 속도가 무엇을 의미하는지 분명하지 않다. 하지만 속도의 기댓값을 다음과 같이 가정하면 의미가 들어맞는다.

\[\langle v \rangle = \frac{d \langle x \rangle}{dt}\] \[\frac{d\langle x \rangle}{dt} = \frac{\partial}{\partial t} \int x \lvert \Psi(x,t) \rvert^2 dx = \int x \frac{\partial}{\partial t}(\Psi^* \Psi) dx\] \[= \int x \left( \frac{\partial \Psi^*}{\partial t} \Psi + \Psi^* \frac{\partial\Psi}{\partial t} \right)dx\]

다음을 생각해보자.

\[i \hbar \frac{\partial\Psi}{\partial t} = - \frac{\hbar^2}{2m} \frac{\partial^2\Psi}{\partial x^2} + V \Psi\] \[\implies \frac{\partial \Psi}{\partial t} = \frac{i\hbar}{2m} \frac{\partial^2\Psi}{\partial x^2} - \frac{i}{\hbar}V \Psi\] \[\implies \frac{\partial \Psi^*}{\partial t} = - \frac{i\hbar}{2m} \frac{\partial^2\Psi^*}{\partial x^2} + \frac{i}{\hbar}V\Psi\]

위 결과를 대입한다.

\[=\int x\left( \left( -\frac{i\hbar}{2m} \frac{\partial\Psi^*}{\partial x^2} +\frac{i}{\hbar}V\Psi^*\right)\Psi + \Psi^* \left( \frac{\hbar^2}{2m} \frac{\partial^2\Psi}{\partial x^2} - \frac{i}{\hbar} V\Psi \right) \right)dx\] \[= \frac{i\hbar}{2m} \int x\left( \Psi^*\frac{\partial^2\Psi}{\partial x^2} - \Psi\frac{\partial\Psi^*}{\partial x^2}\right)dx\] \[= \frac{i\hbar}{2m}\int x \frac{\partial}{\partial x}\left(\Psi^*\frac{\partial\Psi}{\partial x} - \Psi\frac{\partial\Psi^*}{\partial x} \right)dx\]

이후 부분적분하면 ‘그적’ 부분이 0으로 날아가 다음과 같다.

\[= -\frac{i\hbar}{2m} \int \left(\Psi^*\frac{\partial\Psi}{\partial x} - \Psi\frac{\partial\Psi^*}{\partial x} \right)dx\]

두번째 항에 대해 부분적분하면 다음과 같다.

\[= -\frac{i\hbar}{2m} \left[ \int \left( \Psi^* \frac{\partial\Psi}{\partial x} \right)dx - 0 + \int \left( \frac{\partial\Psi}{\partial x} \Psi^* \right)dx \right]\] \[= -\frac{i\hbar}{m} \int \left( \Psi^* \frac{\partial}{\partial x} \Psi \right)dx\] \[= \frac{1}{m}\int\Psi^* \left( -i\hbar \frac{\partial}{\partial x} \right) \Psi dx\] \[\therefore ~~ \langle p \rangle = m \frac{d \langle x \rangle}{dt} = \int\Psi^* \left( -i\hbar \frac{\partial}{\partial x} \right) \Psi dx\]

이때 연산자를 \(\hat{x}=x\), \(\hat{p} = -ih \frac{\partial}{\partial x}\)로 정의하면, 양자역학에서의 연산자는 물리량을 표현한다고 해석 가능하다. x의 기댓값을 구하기 위해선 기댓값 공식에서 물리량 자리에 \(\hat{x}\) 연산자를 넣어 기댓값을 구하면 된다. \(p\)의 기댓값을 구하기 위해선 기댓값 공식에서 물리량 자리에 \(\hat{p}\) 연산자를 넣어 기댓값을 계산하면 된다.

임의의 함수 \(f(x,p)\)의 기댓값을 계산하기 위해선, p 자리에 \(\hat{p}\) 연산자를 넣고 기댓값을 계산하면 된다.

\[\langle f(x,p) \rangle = \int \Psi^* f\left( x, -i\hbar \frac{\partial}{\partial x} \right) \Psi dx\]

예를들어, 운동량 \(T=\frac{p^2}{2m}\)의 기댓값은 다음과 같다.

\[\langle T \rangle = \int \Psi^* \frac{\hat{p}^2}{2m} \Psi dx = \int \Psi^* \frac{1}{2m}\left( -\hbar^2 \frac{\partial^2}{\partial x^2} \right) \Psi dx\]

왜 기댓값을 계산할 때 모든 물리량의 확률 자리에 파동함수를 넣을 수 있는가?

이 또한 공리로 받아들여라. 실험 결과와 일치하다.

함수의 평균값을 어떻게 계산하는가?

\[\langle f(j) \rangle = \sum_{j=0}^{\infty}f(j)P(j)\]

가변도 (분산), 표준편차는 어떻게 계산하는가?

분산은 편차 제곱의 평균이고, 이는 제곱의 평균 - 평균의 제곱과 같다.

\[\sigma^2 = \langle (\Delta x)^2 \rangle = \langle x^2 \rangle- \langle x\rangle^2\] \[\sigma= \sqrt{ \langle x^2 \rangle - \langle x\rangle^2 }\]

제곱의 평균을 어떻게 계산하는가?

물리량을 제곱한다고 해서, 그 확률은 변하지 않는다. 예를 들어, 2가 나올 확률이 1/3, 3이 나올 확률이 2/3이면 제곱했을 때 4가 나올 확률은 여전히 1/3, 9가 나올 확률은 2/3이다. 따라서 다음과 같다.

\[\langle j^2 \rangle = \sum_{j=0}^{\infty}j^2 P(j)\]

연속확률밀도함수를 통해 확률을 어떻게 계산하는가?

구간 \([a,b]\) 사이에 있을 확률을 다음과 같다.

\[P_{ab}=\int_{a}^{b}\rho(x)dx\]

또한 모든 확률을 더하면 1이어야 하므로, 확률밀도함수는 반드시 다음 조건을 만족해야 한다.

\[\int_{-\infty}^{\infty} \rho(x)dx = 1\]

함수를 정규화 하면, 확률밀도함수로써 의미를 부여할 수 있는가?

수학적으로 정규화 가능한 함수라면, 정규화를 통해 확률밀도함수로서의 의미를 부여할 수 있다.

평균 기호 \(\langle \rangle\)는 결합법칙이 만족하는가?

질문이 잘못되었다. 결합법칙은 \((a\times b)\times c = a \times (b \times c)\)와 같이 이항 연산자에 대해 논의하는 내용이다. 평균 기호는 단항 연산자이므로 결합법칙 논의가 불가하다. 대신 평균 기호는 선형성과 상수에 관해 다음 성질이 존재한다.

\[\langle a\pm b\rangle = \langle a \rangle \pm \langle b \rangle\] \[\langle c \cdot a\rangle = c\langle a\rangle\] \[\langle c\rangle = c\]