양자역학 3. 힐베르트 공간이 무엇인가

힐베르트 공간이 무엇인가?

힐베르트 공간(Hilbert Space)이란 완비성을 갖춘 Inner Product Space (내적 공간)이다. 힐베르트 공간의 기저는 하나의 상태와 대응한다. 위치 공간, 운동량 공간, 에너지 공간, 스핀 공간 등등은 위치를 기저로 갖거나, 운동량을 기저로 갖거나 하는 각각의 독립적인 힐베르트 공간이다. 양자역학에서 연산자 위에 hat을 붙이는 것도 이러한 이유인 듯? 두 공간을 텐서곱하면 파동 함수를 여러 상태를 기저로 갖는 하나의 공간 위의 점으로 표현 가능하다.

힐베르트 공간은 유한 차원일 수도, 무한 차원일 수도 있다. 예를들어, 파동함수 \(\Psi(x,t)\)는 x 공간 (힐베르트 공간)는 위의 하나의 점으로 표현되며 매개변수 \(t\)가 변함에 따라 공간 위의 점이 움직인다. 이때 x 공간은 무한차원이다. 그 이유는 위치는 연속적인 물리량이며, 각각의 물리량이 상태로써 존재하기 때문이다.

파동 함수는 운동량에 대해서도 표현 가능하다. \(\Psi(p, t)\). 이는 p 공간 위의 한 점으로 표현되며 똑같이 무한차원이다. 만약 전자를 기술하는 파동함수라면 스핀을 상태로 갖는 파동함수 \(\Psi(σ,t)\)도 생각해볼 수 있다. 그 파동함수는 스핀 공간 위의 한 점이며, 스핀 공간은 유한 차원이다. 그 이유는 업스핀 (↑)과 다운 스핀(↓) 두가지 상태만이 기저로 갖기 때문이다.

힐베르트 공간의 정의 덕분에 양자역학에서 파동함수를 벡터로 다루고, 물리량을 연산자로 표현하는 수학적 기반이 된다.

완비성이란 무엇인가?

완비성이란 빈 틈이 없는 공간이다. 예를들어 유리수 공간 \(Q\)는 무리수 자리에 빈 틈이 존재하므로, 완비하지 않다. 1차원 실수선에서 완비성을 가지려면 무리수와 유리수를 모두 포함해야 한다. 실수선이 완비하다는 것은 실수의 정의에서 나온 공리이다.

빈 틈이 없다는 것은, Simple coonected region과 같은 것 아닌가? 개념의 정의가 서로 다르다. Simple connected region은 한 점으로 수축 가능한 공간이다. \(\{(x,y) \in x^2+y^2<1\}\)과 같이 열린 공간은 Simple connected region일 수 있지만, 완비하지 않다. 경계를 포함하고 있지 않기 때문에 빈 틈이 존재한다. %% 즉, 부분 집합이 완비하려면 경계를 포함한 닫힌 공간이어야 한다. 이는 오류임. \((0, \infty)\)는 열렸지만 완비함.%%

[!question] 빈 틈이 없다는 것을 어떻게 정의하는가?{title} 모든 코시열이 그 공간 내에서 수렴하는 지 여부로 판단 가능하다고 한다.