양자역학 29. 연산자의 의미가 무엇일까

연산자의 의미는 무엇인가?

수학적으로 연산자란, 어떤 벡터 공간 \(V\)의 원소를 또 다른 벡터 공간 \(W\)의 원소로 보내는 사상(mapping), 또는 변환이다.

\[\hat{A}: V \to W\]

만약 연산자가 다음 성질을 만족하면, 선형 변환이다.

\[\hat{A}(f + g) = \hat{A} f + \hat{A} g\] \[\hat{A}(cf) = c(\hat{A}f)\]

그리고 모든 Hermitian Operator의 정의상 선형 연산자다.

근본적으로, 양자역학들의 연산자들은 중첩 원리 때문에 선형적이어야 한다.

\[\hat{A} \ket{\Psi} = \hat{A} \ket{\psi_{1}} + \hat{A} \ket{\psi_{2}}\]

중첩 상태인 \(\ket{\Psi}\)의 측정 결과는, 각 상태의 측정 결과의 조합으로 나타나야 타당하다. 그러나 선형성이 만족되지 않으면, 중첩된 상태의 측정 결과가 측정 이후의 상태와 연관이 없음을 뜻한다. 이는 양자역학 공준에 위배된다.

Hermitian Operator가 Linear Transform이라면, 행렬로 표현 가능하다.

연산자를 행렬로 어떻게 나타내는가?

연산자를 행렬로 나타내기 위해서, 기저 집합 \(\{ \ket{e_{n}} \}\)을 알고 있어야 한다.

\[A_{mn} = \braket{e_{m} \mid \hat{A} \mid e_{n}}\]

그 이유는 무엇일까? 위 표기법이 타당함을 보이겠다.

먼저 벡터에 연산자를 취하면 다른 벡터를 반환한다.

\[\ket{\beta} = \hat{A} \ket{\alpha}\]

벡터를 기저 집합 \(\{ \ket{e_{n}} \}\)으로 표현하면 다음과 같다.

\[\sum_{n} b_{n} \ket{e_{n}} = \sum_{n} a_{n} \hat{A} \ket{e_{n}}\]

양 변에 \(\ket{e_{m}}\)과 내적을 취한다.

\[\braket{e_{m} \mid \sum_{n} b_{n} \mid e_{n}} = \braket{e_{m} \mid \sum_{n} a_{n} \hat{A} \mid e_{n}}\] \[\implies \sum_{n}b_{n} \braket{e_{m} \mid e_{n}} = \sum_{n} a_{n} \braket{e_{m} \mid \hat{A} \mid e_{n}}\] \[\implies \sum_{n} b_{n} \delta_{mn} = \sum_{n} a_{n} Q_{mn}\] \[\implies b_{m} = \sum_{n} Q_{mn} a_{n}\]

이는 행렬 벡터 곱을 인덱스꼴로 나타낸 것과 동일하다.

\[y_{i} = \sum_{j=1}^{n} A_{ij}x_{j}\]

이러한 행렬 표현은 유한한 \(N\)개의 선형 독립적인 상태만 허용되는 계에서 유용하다. 그 경우 행렬의 크기는 \(N \times N\)이다.

따라서 행렬 벡터 곱을 다음과 같이 쓸 수 있다.

\[\ket{\beta} = \hat{T} \ket{\alpha} = T \vec{a} = \begin{pmatrix} t_{11} & t_{12} & \dots & t_{1N} \\ t_{21} & t_{22} & \dots & t_{2N} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ t_{N 1} & t_{N 2} & \dots & t_{N N} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a_{1} \\ a_{2} \\ \vdots \\ a_{N} \end{pmatrix}\]

사실 허미션 연산자 정의의 표현은 엉터리다

\[\braket{f \mid \hat{Q} g} = \braket{\hat{Q} f \mid g}\]

위 표현은 디렉 표기법에서 바라보면 엉터리 표현법이다. \(\ket{g}\)가 벡터이지 \(g\)는 그 벡터의 이름이기 때문이다. 따라서 다음이 옳다.

\[\braket{f \mid \hat{Q} \mid g}\]

그렇다면 우변은 어떻게 표현할까? \(\bra{\hat{Q}f}\)는 \(\hat{Q} \ket{f}\)에 대응하는 Bra와 같다. 즉 정확한 표현은

\[(\hat{Q} \ket{f})^*\]

이다. 그러나 보기 안좋기 때문에, 그냥 우변의 표현법은 허용한다.

\[\braket{f \mid \hat{Q} \mid g} = \braket{\hat{Q} f \mid g}\]