양자역학 28. 에너지-시간 불확정성 원리란
에너지-시간 불확정성 원리란?
논의를 진행하기 앞서, 시간은 측정 가능양 Observable이 아닌데 불확정성 원리를 어떻게 적용하는가? 맞다.
\[\Delta E \Delta t \geq \frac{\hbar}{2}\]에서 \(\Delta t\)는 시간의 표준편차가 아니라, \(\Delta E\) 상태의 지속 시간과 같다. 그리고, 임의의 물리량의 시간 변화율과 반비례한다. 시스템의 상태가 빠르게 변하면, \(\Delta t\)가 작아진다. 즉, 상태 지속 시간이 작아진다. 시스템의 상태가 느리게 변하면 \(\Delta t\)가 커진다. 즉, 상태 지속 시간이 길어진다.
\(\hat{A} = \hat{H}\), \(\hat{B} = \hat{Q}\)라고 하자. 이때 \(Q(x,p,t)\)는 임의의 Observable라고 가정한다. 관측량 \(Q\)가 얼마나 빨리 변하는지, 기댓값의 시간 변화율을 계산한다.
\[\frac{d}{dt}\langle Q \rangle = \frac{d}{dt} \braket{\Psi \mid \hat{Q} \Psi}\]\(\int \Psi^* \hat{Q} \Psi dx\)이므로 시간 미분은 각각 함수에 적용된다.
\[= \braket{ \frac{d \Psi}{dt} \mid \hat{Q} \Psi } + \braket{\Psi \mid \frac{d\hat{Q}}{dt} \Psi} + \braket{\Psi \mid \hat{Q} \frac{d\Psi}{dt}}\]슈뢰딩거 방정식은 다음과 같다.
\[i\hbar \frac{d\Psi}{dt} = \hat{H} \Psi\]이를 대입한다.
\[= - \frac{1}{i\hbar}\braket{\hat{H} \Psi \mid \hat{Q} \Psi} + \left\langle \frac{d\hat{Q}}{dt} \right\rangle + \frac{1}{i\hbar} \braket{\Psi \mid \hat{Q} \hat{H} \Psi}\] \[= \frac{i}{\hbar} (\braket{\Psi \mid \hat{H} \hat{Q} \Psi} - \braket{\Psi \mid \hat{Q} \hat{H} \Psi}) + \left\langle \frac{d\hat{Q}}{dt} \right\rangle\] \[= \frac{i}{\hbar} (\langle \hat{H} \hat{Q} \rangle - \langle \hat{Q} \hat{H} \rangle) + \left\langle \frac{d\hat{Q}}{dt} \right\rangle\] \[= \frac{i}{\hbar}(\langle \hat{H}\hat{Q} - \hat{Q}\hat{H}\rangle) + \left\langle \frac{d\hat{Q}}{dt} \right\rangle\] \[= \frac{i}{\hbar} \langle [\hat{H}, \hat{Q}] \rangle + \left\langle \frac{d\hat{Q}}{dt} \right\rangle\]대부분의 연산자는 \(t\)에 의존하지 않는다. 그러므로, 거의 대부분
\[\frac{\partial\hat{Q}}{\partial t} = 0\]와 같다.
\[\frac{d}{dt} \langle Q \rangle = \frac{i}{\hbar} \langle [\hat{H}, \hat{Q}] \rangle\]이제 불확정성 원리에 대입해보자.
\[\sigma_{H}^2 \sigma_{Q}^2 \geq \left( \frac{1}{2i} \langle [ \hat{H}, \hat{Q}] \rangle \right)^2\] \[= \left( \frac{1}{2i} \frac{\hbar}{i} \frac{d\langle Q \rangle}{dt} \right)^2\] \[= \left( \frac{\hbar}{2} \right)^2 \left( \frac{d \langle Q \rangle}{dt} \right)^2\] \[\implies \sigma_{H} \sigma_{Q} \geq \frac{\hbar}{2} \left\lvert \frac{d \langle Q \rangle}{dt} \right\rvert\]\(\Delta E \equiv \sigma_{H}\)로 정의한다, \(\Delta t\)는 다음과 같이 정의한다.
\[\Delta t = \frac{\sigma_{Q}}{\left\lvert \frac{d \langle Q \rangle}{dt} \right\rvert }\]결론은 다음과 같다.
\[\Delta E \Delta t \geq \frac{\hbar}{2}\]\(\Delta t\)는 보려고 하는 관측량 \(Q\)에 의존한다. 그러나, \(\Delta E\)가 작으면 모든 관측량의 변화율은 작을 것이다. 따라서 \(\Delta t\)는 커진다. \(\Delta E\)가 커지면, 모든 관측량의 변화율이 커진다. 따라서 \(\Delta t\)는 작아진다. \(\Delta t\)는 에너지 불확실도가 \(\Delta E\)인 시스템의 상태가 변화하는 시간과 같다.