양자역학 27. 불확정성 원리를 일반화하는 방법

일반화된 불확정성 원리가 무엇인가?

임의의 Observable \(\hat{A}, \hat{B}\)에 대한 불확정성 원리를 유도하자.

\[\sigma_{A}^2 = \langle (A - \langle A \rangle)^2 \rangle\] \[= \braket{ \Psi \mid (\hat{A} - \langle A \rangle)^2 \Psi }\] \[= \braket{ (\hat{A} - \langle A \rangle) \Psi \mid (\hat{A} - \langle A \rangle) \Psi }\]

다음 함수를 정의한다.

\[f \equiv (\hat{A} - \langle A \rangle)\Psi\]

따라서 다음과 같다.

\[\sigma_{A}^2= \braket{ f \mid f }\]

\(\sigma_{B}^2\)에 대해 똑같이 유도 가능하다.

\[\sigma_{B}^2 = \braket{ g \mid g }, ~~~ g \equiv (\hat{B} - \langle B \rangle) \Psi\]

슈바르츠 부등식에 따라, 두 벡터 내적의 크기는 각 벡터의 크기를 곱한것 보다 작거나 같아야 한다.

\[\sigma_{A}^2 \sigma_{B}^2 = \braket{ f \mid f } \braket{ g \mid g } \geq \lvert \braket{ f \mid g } \rvert^2\]

이때, \(\braket{ f \mid g }\)는 다음과 같다.

\[\braket{ f \mid g } = \braket{ (\hat{A} - \langle A \rangle) \Psi \mid (\hat{B} - \langle B \rangle) \Psi }\] \[= \braket{ \Psi \mid (\hat{A} - \langle A \rangle)(\hat{B} - \langle B \rangle) \Psi }\] \[= \braket{\Psi \mid (\hat{A}\hat{B} - \hat{A}\langle B \rangle - \langle A \rangle \hat{B} + \langle A \rangle \langle B \rangle) \Psi }\] \[= \braket{ \Psi \mid \hat{A} \hat{B} \Psi} - \langle B \rangle\braket{ \Psi \mid \hat{A} \Psi } - \langle A \rangle\braket{ \Psi \mid \hat{B} \Psi } + \langle A \rangle \langle B \rangle\braket{ \Psi \mid \Psi }\] \[= \langle \hat{A}\hat{B} \rangle - \langle B \rangle \langle A \rangle - \langle A \rangle \langle B \rangle + \langle A \rangle \langle B \rangle\] \[= \langle \hat{A}\hat{B} \rangle - \langle A \rangle \langle B \rangle\]

[!question] \(\braket{\Psi \mid \hat{A} \hat{B} \Psi} = \langle AB \rangle\) 아닌가?{title} 맞다. 근데 똑같은 말이다. 어떤 관측량 \(A\)의 기댓값은 다음과 같다.

\[\langle A \rangle = \braket{ \Psi \mid \hat{A} \Psi}\]

이를 줄여서 다음과 같이 쓰기도 한다.

\[\braket{\Psi \mid \hat{A} \Psi} = \langle \hat{A} \rangle\]

따라서 다음과 같다.

\[\langle A \rangle = \braket{\Psi \mid \hat{A} \Psi} = \langle \hat{A} \rangle\]

\(\braket{g \mid f}\)은 다음과 같다.

\[\braket{g \mid f} = \braket{f \mid g}^* = (\langle \hat{A} \hat{B} \rangle - \langle A \rangle \langle B \rangle)^*\] \[= \langle \hat{A} \hat{B} \rangle^* - \langle A \rangle \langle B \rangle\] \[= \braket{\Psi \mid \hat{A} \hat{B} \Psi}^* - \langle A \rangle \langle B \rangle\] \[= \braket{\hat{A} \hat{B} \Psi \mid \Psi} - \langle A \rangle \langle B \rangle\] \[= \braket{\Psi \mid (\hat{A} \hat{B})^{\dagger} \Psi} - \langle A \rangle \langle B \rangle\] \[= \braket{\Psi \mid \hat{B} \hat{A} \Psi} - \langle A \rangle \langle B \rangle\] \[= \langle \hat{B} \hat{A} \rangle - \langle A \rangle \langle B \rangle\]

둘의 차이는 다음과 같다.

\[\braket{f \mid g} - \braket{g \mid f} = \langle \hat{A}\hat{B}\rangle - \langle \hat{B} \hat{A} \rangle\] \[= \langle \hat{A} \hat{B} - \hat{B} \hat{A} \rangle = \langle [\hat{A}, \hat{B}] \rangle\]

Consider. 다음을 생각해보자. \(z = a + ib\)

\[z - z^* = a + ib - a + ib = 2ib = 2i \text{Im}(z)\]

그리고, 복소수를 제곱한 것은 Image Part만 제곱한 것과 반드시 크거나 같다.

\[\lvert z \rvert^2 = z^* z = a^2 + b^2 \geq b^2 = \lvert \text{Im}(z) \rvert^2\]

따라서, 다음 관계를 만족한다.

\[\braket{f \mid g} - \braket{g \mid f} = 2i \mathrm{Im}( \braket{f \mid g})\]

따라서, 코시 슈바르츠 부등식에 의해 다음과 같다.

\[\sigma_{A}^2 \sigma_{B}^2 \geq \lvert \braket{f \mid g} \rvert^2 \geq \lvert \mathrm{Im}(\braket{f \mid g}) \rvert^2\] \[= \left\lvert \frac{1}{2i} (\braket{f \mid g} - \braket{g \mid f}) \right\rvert^2\] \[= \left\lvert \frac{1}{2i} \langle [\hat{A}, \hat{B}] \rangle \right\rvert^2\]

결론은 다음과 같다.

\[\therefore ~~ \sigma_{A}^2 \sigma_{B}^2 \geq \left( \frac{1}{2i} \langle [\hat{A}, \hat{B}] \rangle \right)^2\]

불확정성 원리의 의미는 무엇인가?

두 연산자가 교환되지 않는다면, 둘 중 하나의 Observable을 측정할 수록 다른 하나의 Observable을 알 수 없게 된다. 즉, 하나의 Observable에 대해 고유 상태가 되면, 다른 Observable에 대해선 고유 상태가 되지 않는다. 둘 다 고유상태로 만들 수 없다. 즉, 동시에 정확히 알 수 없다.

반대로, 두 연산자가 교환된다면 둘 중 하나의 Observable을 측정하면 다른 하나의 Observable도 결정된다. 즉 하나의 Observable에 대해 고유 상태가 된다면, 다른 하나의 Observable 또한 고유 상태로 결정된다. 즉, 동시에 정확히 알 수 있다.

x, p에 대한 불확정성 원리

\(\hat{A} = \hat{x}\), \(\hat{B} = \hat{p}\)일 때 불확정성 원리는 다음과 같다.

\[\frac{1}{2i} \langle [ \hat{x}, \hat{p}] \rangle = \frac{1}{2i} \langle i\hbar \rangle = \frac{i\hbar}{2i} = \frac{\hbar}{2}\] \[\sigma_{x}^2 \sigma_{p}^2 \geq \left( \frac{\hbar}{2} \right)^\implies \sigma_{x} \sigma_{p} \geq \frac{\hbar}{2}\]

최소 불확정도를 갖는 파동 묶음이란?

불확정성 원리에서 등식이 성립되는 경우와 같다.

\[\sigma_{A}^2 \sigma_{B}^2 = \left( \frac{1}{2i} \langle [\hat{A}, \hat{B}] \rangle \right)^2\]

등식이 성립되는 경우는, 어떤 경우일까? 유도 과정에서 \(\lvert z \rvert^2\geq \lvert \text{Im}(z) \rvert^2\) 관계를 사용했는데, 다음과 같아야 할 것이다.

\[z = i \text{Im(z)} \implies \braket{f \mid g} \rangle = i\text{Im}(\braket{f \mid g} )\]

즉, \(\braket{f \mid g}\)가 순 허수가 되어야 한다.

또한, 슈바르츠 부등식의 등호 또한 성립되어야 한다.

\[\braket{f \mid f} \braket{g \mid g} = \lvert \braket{f \mid g} \rvert^2\]

두 벡터를 내적한 것이 각각 벡터의 크기의 곱과 같으려면, 두 벡터가 이루는 각이 0도어야 한다. 즉, 두 벡터의 방향이 나란해야 한다. 즉 두 벡터가 비례 관계에 있다.

\[\ket{g} = \lambda \ket{f}\]

\(\braket{f \mid g}\)에 대입하면 다음과 같다.

\[\braket{f \mid g} = \braket{f \mid \lambda f} = \lambda \braket{f \mid f}\]

이때, \(\braket{f \mid f}\)는 항상 실수 값이다. \(\braket{f \mid g}\)가 항상 순 허수가 되려면, \(\lambda\)가 항상 순 허수가 되어야 한다. \(\lambda = ia\)라고 하자. \(a\)는 실수다. 따라서, 최소 불확성도 조건은 다음과 같다.

\[(\hat{A} - \langle A \rangle) \Psi = ia (\hat{B} - \langle B \rangle) \Psi\]

위치-운동량 불확정성 원리에서는 다음과 같다.

\[\left( -i\hbar \frac{d}{dx} - \langle p \rangle \right) \Psi = ia (x - \langle x \rangle) \Psi\]

이는 \(x\)에 대한 미분 방정식이고, \(\Psi(x)\)의 해는 gaussian으로 주어진다.

\[\Psi(x) = A e^{-a (x - \langle x \rangle)^2 / 2\hbar} e^{i \langle p \rangle x / \hbar}\]