양자역학 26. 양자계를 어떻게 예측할 수 있을까
양자계를 어떻게 예측할 수 있는가?
어떤 양자 시스템을 완전히 이해했다는 것은, 그 시스템이 가능한 모든 상태와 그 확률을 얻어내는 것과 같다. 가능한 모든 상태를 알아낸다는 것은, 힐베르트 공간을 이루는 Complete한 기저와 그 계수들 \(c_{n}\), \(c(z)\)를 찾아내는 것과 동등하다. 이때 Complete한 기저는 Observable Operator의 고유 함수와 같다.
그러나 기저는 Observable마다 모두 다르다. 그러면 모든 Observable에 대한 기저를 다 찾아야 하는건가? -> 그렇지 않다. 여러 Observable에 대한 것 중 하나만 완비한 기저를 모두 찾아내면, 나머지는 그저 기저 변환을 통해 구할 수 있다.
보통 해밀토니안을 선택하고, 해밀토니안에 대한 완비한 기저와 그 계수를 모두 찾으면 나머지 위치, 운동량에 대한 정보는 그저 파동함수와 위치, 운동량 고유 함수와 내적하면 구할 수 있다. 해밀토니안을 선택하는 이유는, 슈뢰딩거 방정식이 해밀토니안으로 기술하기 때문이다. 또, 해밀토니안만이 시간 발전을 기술할 수 있기 때문이다.
예를 들어, 슈뢰딩거 방정식을 풀어서 위치 공간에서 표현된 해밀토니안에 대한 다음 정보를 알고 있다고 가정하자.
\[\Psi(x,t) = \sum_{n} c_{n} \psi_{n}(x)e^{- E_{n}t / \hbar}\]이 정보를 알고 있다면, 추상적인 힐베르트 공간 내의 파동함수 \(\ket{\Psi(t)}\)를 알고 있는 것과 다름없다.
\[\ket{\Psi(t)} = \int_{-\infty}^{\infty} \Psi(x,t) \ket{x} dx\]위 정보를 알고있다면, 내가 원하는 Observable의 기저와 내적하면, 그 기저에 의존하는 파동 함수를 얼마든지 구할 수 있다.
또는 해밀토니안의 고유 함수 \(\ket{E_{n}}\)을 알고 있다면, 다음과 같이도 구할 수 있다.
\[\ket{\Psi(t)} = \sum_{n} c_{n} e^{-i E_{n} t / \hbar} \ket{E_{n}}\]그러나 우리가 슈뢰딩거 방정식을 풀어서 얻는 고유 함수는 \(\psi_{n}(x)\)와 같다. 이는 \(\ket{E_{n}}\)을 기저 \(x\)로 표현한 것과 같다.
\[\psi_{n}(x) = \braket{ x \mid E_{n} }\]그것은 무슨 의미인가? \(\ket{E_{n}}\) 벡터를 \(\ket{x}\) 기저의 선형 결합으로 표현했을 때, \(\psi_{n}(x)\)는 벡터의 성분이다.
\[\ket{E_{n}} = \int_{-\infty}^{\infty} \psi_{n}(x) \ket{x} dx\]이 관계들을 알고 있으면, 이제 추상적인 \(\ket{\Psi(t)}\)에서 구체적인 기저 공간으로 표현된 파동 함수 \(\Psi(Q, t)\)로의 변환, 그리고 그것의 역까지 구할 수 있다.
만약 \(x\) 기저로 표현된 파동 함수를 구하고 싶다면, \(\ket{x}\)와 내적하면 된다.
\[\Psi(x,t) = \braket{ x \mid \Psi(t) } = \sum_{n} c_{n} e^{-i E_{n} t / \hbar} \braket{ x \mid E_{n} }\]이때 \(\braket{ x \mid E_{n} }\)는 \(\psi_{n}(x)\)와 같다. 그리고 이 파동 함수 \(\Psi(x,t)\)는 위치 x에서 입자를 발견할 확률 진폭과 동일하다!
\[c(x) = \braket{ x \mid \Psi } = \Psi (x,t)\]따라서 위치 \(dx\) 범위에서 입자가 측정될 확률은 \(\lvert \Psi(x,t) \rvert^2 dx\)와 같다.
만약 \(p\) 기저로 표현된 파동 함수를 구하고 싶다면, \(\ket{p}\)과 내적한다.
\[\Phi(p,t) = \braket{ p \mid \Psi(t) } = \sum_{n} c_{n} e^{-i E_{n} t / \hbar} \braket{ p \mid E_{n} }\]이때 \(\braket{ p \mid E_{n} }\)은 우리는 모른다, 그러나 다음은 알고 있다.
\[\langle x \mid p \rangle = \frac{1}{\sqrt{ 2\pi \hbar }}e^{ipx / \hbar}\] \[\braket{ x \mid E_{n} } = \psi_{n} (x)\]따라서, 다음 테크닉을 사용한다.
\[\braket{ p \mid E_{n} } = \braket{ p \mid \hat{I} \mid E_{n} }\] \[= \braket{ p \mid \int \ket{x} \bra{x} dx \mid E_{n} }\] \[= \int \braket{ p \mid x } \braket{ x \mid E_{n} } dx\] \[= \int \braket{ x \mid p }^* \braket{ x \mid E_{n} } dx\] \[= \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{ 2\pi \hbar }} e^{-ipx / \hbar} \psi_{n}(x) dx\]이 파동 함수 \(\Phi(p,t)\)는 운동량 \(p\)를 가질 확률 진폭과 동일하다!
\[c(p) = \braket{ p \mid \Psi } = \Phi(p,t)\]따라서 운동량 \(dp\) 범위에서 입자가 측정될 확률은 \(\lvert \Phi(p,t) \rvert^2 dp\)와 같다.
상태의 시간 발전을 위해선, 해밀토니안이 반드시 필요하다.
완비한 기저 세트가 있으면 임의의 상태 \(\ket{\Psi}\)를 표현할 수 있고, 그 상태에서 다른 기저와 내적하면 그 기저에 의존하는 상태를 나타낼 수 있다. 그러나, 시간에 의존하는 상태 \(\ket{\Psi(t)}\)를 기술하기 위해선 반드시 \(\hat{H}\) 정보가 있어야 한다.
즉, \(\ket{\Psi}\)를 \(\ket{\Psi(t)}\)로 만들기 위해선 시간 발전 연산자인 해밀토니안 정보가 반드시 필요하다.
시간에 의존하는 슈뢰딩거 방정식은 다음과 같다.
\[i \hbar \frac{\partial \ket{\Psi(t)} }{\partial t} = \hat{H} \ket{\Psi(t)}\]\(\hat{H}\)가 시간에 무관하면, 즉 퍼텐셜 \(V(x)\)가 시간에 무관하면 다음과 같다.
\[\ket{\Psi(t)} = e^{-i \hat{H} t / \hbar} \ket{\Psi(0)}\]해밀토니안이 \(\hat{H}(t)\)로 기술되면, Solution이 다르게 표현된다.
즉 계의 초기 상태와, 해밀토니안이 주어지면 계의 시간에 따른 모든 상태를 기술할 수 있다.
지수에 연산자는 어떻게 해석해야 하는가?
\[e^{\hat{Q}} \equiv 1 + \hat{Q} + \frac{1}{2}\hat{Q}^2 + \frac{1}{3!} \hat{Q}^3 + \dots\]기본적인 정의는 테일러 급수 형태와 같다.
만약 연산자가 \(N \times N\) 행렬로 주어지고, 그것이 대각 행렬이면 각 성분에 지수를 적용하면 된다.
\[D = \begin{pmatrix} 3 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 5 \end{pmatrix}, ~~e^D = \begin{pmatrix} e^3 & 0 & 0 \\ 0 & e^2 & 0 \\ 0 & 0 & e^5 \end{pmatrix}\]즉, \(e^{-i \hat{H} t / \hbar}\)이고, \(\hat{H}\)이 대각 행렬이면 그냥 \(\hat{H}\) 자리에 성분을 넣으면 된다.
\[\hat{H} = \begin{pmatrix} H_{11} & 0 & 0 \\ 0 & H_{22} & 0 \\ 0 & 0 & H_{33} \end{pmatrix}, ~~ e^{-i \hat{H} t / \hbar} = \begin{pmatrix} e^{-iH_{11}t / \hbar} & 0 & 0 \\ 0 & e^{-iH_{22}t / \hbar} & 0 \\ 0 & 0 & e^{-iH_{33}t / \hbar} \end{pmatrix}\]만약 일반 행렬이면, 대각화하면 된다.
\[\hat{H} = PDP^{-1}\]이때 \(P\)는 고유벡터 행렬이고, \(D\)는 \(diag (E_{1}, E_{2}, E_{3})\)과 같다. \(E_{n}\)은 고유값이다.
해밀토니안과, 계의 초기 상태가 주어지면 계의 시간에 따른 상태를 기술할 수 있다.
해밀토니안이 행렬로 주어졌다면, 고유값과 고유 벡터를 구해서 완비한 기저셋 \(\{ \ket{E_{n}} \}\)을 얻을 수 있다. 그리고 그 완비한 기저 세트로, 초기 상태 \(\ket{\Psi(0)}\)을 표현할 수 있다. 그 초기 상태를 통해 \(c_{n}\)를 계산할 수 있다.
\[c_{n} = \braket{ E_{n} \mid \Psi(0) }\]초기 상태에서 구한 \(c_{n}\)을 시간 발전 \(\ket{\Psi(t)}\)에서 사용해도 되는가? 그렇다. \(c_{n}\)은 시간에 무관하기 때문이다. 즉 확률이 보존된다.
\[\ket{\Psi(t)} = \sum_{n} c_{n} e^{-i E_{n} t / \hbar} \ket{E_{n}}\]이후 다음 식을 사용해서 \(\ket{\Psi(t)}\)을 표현할 수 있다.
[!question] 그럼 시간이 지나도 특정 에너지 고유 상태를 관측할 확률은 동일한건가? 그것이 항상 성립하는가?{title} 그렇다. 시간이 지나도 특정 에너지 고유 상태를 관측할 확률은 동일하다. 그러나 이것은 다른 기저 (위치, 운동량) 고유 상태에서는 성립되지 않는다. 당연히 그때의 \(c_{n}\)에 해당하는 것은 \(\Psi(x,t)\), \(\Phi(x,t)\)와 같이 확률 분포 밀도가 시간에 의존하기 때문이다.
위치 공간의 파동 함수와, 운동량 공간의 파동 함수는 푸리에 변환 관계에 있다.
위치 공간의 파동 함수는 다음과 같다.
\[\Psi(x,t) = \braket{ x \mid \Psi(t) } = \braket{ x \mid \hat{I} \mid \Psi(t) }\] \[= \braket{ x \mid \int \ket{p} \bra{p} dp \mid \Psi(t) }\] \[= \int \braket{ x \mid p } \braket{ p \mid \Psi(t) } dp\] \[= \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{ 2\pi \hbar }} e^{ipx / \hbar} \Phi(p,t) dp\]반대로, 운동량 공간의 파동 함수는 다음과 같다.
\[\Phi(p,t) = \braket{ p \mid \Psi(t) }= \braket{ p \mid \hat{I} \mid \Psi(t) }\] \[= \braket{ p \mid \int \ket{x} \bra{x} dx \mid \Psi(t) }\] \[= \int \braket{ p \mid x } \braket{ x \mid \Psi(t) } dx\] \[= \int \braket{ x \mid p }^* \braket{ x \mid \Psi(t) } dx\] \[= \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{ 2\pi \hbar }} e^{-ipx / \hbar} \Psi(x,t) dx\]위 관계는 푸리에 변환, 역푸리에 변환 관계에 있다. 푸리에 변환이 무엇인가?
\[f(x) = \frac{1}{\sqrt{ 2\pi }} \int_{-\infty}^{\infty} A(k) e^{ikx}dk\] \[A(k) = \frac{1}{\sqrt{ 2\pi }} \int_{-\infty}^{\infty} f(x)e^{-ikx}dx\]즉, \(\Psi(x,t)\)는 \(e^{ipx / \hbar}\)를 기저로 갖고 그 성분이 \(\Phi(p,t)\)로 쓰여진 역 푸리에 변환과 같다. \(\Phi(p,t)\)는 푸리에 변환으로 얻을 수 있다.
완비성 관계가 무엇인가?
완비성을 갖춘 정규직교 벡터 집합의 투영 연산자를 모두 더하면, 단위 행렬이 된다.
이때 투영 연산자는 본인 벡터와 외적한 것과 같다. 이떄의 결과는 행렬이다.
\[\hat{P}_{q} = \ket{q} \bra{q}\]모든 가능한 고유값 \(q\)에 대해 투영 연산자들을 모두 더하면, 단위 행렬이 된다.
\[\hat{I} = \int \ket{q} \bra{q} dq\]다음과 같이 활용될 수 있다.
\[\hat{I} = \int \ket{x} \bra{x} dx\] \[\hat{I} = \int \ket{p} \bra{p} dp\] \[\hat{I} = \sum_{n} \ket{E_{n}} \bra{E_{n}}\]투영 연산자가 무엇인가?
투영 연산자란, 어떤 상태를 특정 기저로 사영하는 연산자다.
\[\hat{P}_{\alpha} = \ket{\alpha} \bra{\alpha}\]이는 임의의 다른 벡터에서, \(\ket{\alpha}\)와 나란한 성분을 추출한다.
\[\hat{P}_{\alpha} \ket{\psi} = \ket{\alpha} \braket{ \alpha \mid \psi } = \braket{ \alpha \mid \psi } \ket{\alpha}\]어떤 상태에서 \(\alpha\) 상태를 측정하는 것은, 투영 연산자 \(\hat{P}_{\alpha}\)를 상태에 적용하는 것과 같다.
투영 연산자는 멱등성과 에르미트성을 갖는다.
\[\hat{P}^2 = \hat{P}\]한번 투영한 결과에 다시 투영해도 결과는 변화지 않는다. 즉, 한번 측정하면 재측정해도 측정 결과가 변하지 않는다는 양자역학의 공준과 일치한다.
\[\hat{P}^{\dagger} = \hat{P}\]따라서 투영 연산자의 고유값은 실수고, 특정 상태에 대한 측정값이 실수임이 보장된다.
어떤 상태 \(\ket{\psi}\)에서 특졍 결과가 관측될 확률은, 투영 연산자의 기댓값으로 계산 가능하다.
\[\langle \hat{P}_{n} \rangle = \braket{ \psi \mid \hat{P}_{n} \mid \psi } = \braket{ \psi \mid n } \braket{ n \mid \psi } = \lvert \braket{ n \mid \psi } \rvert^2 = \lvert c_{n} \rvert^2\]