양자역학 25. 일반화된 통계적 해석이 무엇인가

일반화된 통계적 해석이 무엇인가?

파동함수는 하나의 상태와 같다. 특정 상태를 실험으로 관측하면, 하나의 실수 값을 얻게 된다. 이를 양자역학적 언어로 표현하면 ’\(\ket{\Psi}\) 상태의 양자계의 \(Q(x,p)\)를 측정하면 Hermitian \(\hat{Q}(\hat{x}, \hat{p})\) 연산자의 고유값 중 하나를 얻는다.’ 와 동치다.

만약 고유값 스펙트럼이 불연속 \(q_{n}\)이면, 고유 함수 \(\ket{\psi_{n}}\) 상태로 붕괴하고, 그 상태를 얻을 확률은 \(\lvert c_{n} \rvert^2\)과 같다. 이때 \(c_{n}\)은 다음과 같다.

\[c_{n} = \braket{ \psi_{n} \mid \Psi }\]

만약 고유값 스펙트럼이 연속 \(q(z)\)이면, 고유값 분포 중 \(dz\) 범위의 파동 패킷을 갖는 상태로 붕괴하고, \(dz\) 범위 있는 결과를 얻을 확률은 \(\lvert c(z) \rvert^2 dz\)이다. 이때 \(c(z)\)는 다음과 같다.

\[c(z) = \braket{ f_{z} \mid \Psi }\]

전체 확률은 1이 되어야 한다.

\[\sum_{n} \lvert c_{n} \rvert^2 = 1, ~~~~ \int \lvert c(z) \rvert^2 dz = 1\]

위 조건은 파동함수의 규격화 조건에서 얻을 수 있다.

[!NOTE]- 불연속 스펙트럼일 때 확률 진폭 제곱의 합이 1이다. 증명{title} 임의의 Hermitian Operator가 불연속 스펙트럼이고, 고유함수와 확률 진폭을 \(\ket{f_{n}}\), \(c_{n}\)이라고 하자.

\[1 = \braket{ \Psi \mid \Psi } = \braket{ \left( \sum_{n'} c_{n'} \ket{f_{n'}} \right) \mid \left( \sum_{n} c_{n} \ket{f_{n}} \right) }\] \[= \sum_{n'} \sum_{n} c_{n'}^* c_{n} \braket{ f_{n'} \mid f_{n} }\] \[= \sum_{n'} \sum_{n} c_{n'}^* c_{n} \delta_{n'n}\] \[= \sum_{n} c_{n}^* c_{n} = \sum_{n} \lvert c_{n} \rvert^2\]

[!NOTE]- 연속 스펙트럼일 때 확률 진폭 제곱의 합이 1이다. 증명{title} 임의의 Hermitian Operator가 연속 스펙트럼이고, 고유 함수와 확률 진폭을 \(\ket{f_{z}}, c(z)\)라고 하자.

\[1 = \braket{ \Psi \mid \Psi } = \braket{\left( \int c(z') \ket{f_{z}} dz' \right) \mid \left( \int c(z) \ket{f_{z}} dz \right) }\] \[= \int dz' \int dz ~c(z')^*c(z)\braket{ f_{z'} \mid f_{z}}\] \[= \int dz' \int dz ~ c(z')^* c(z) \delta(z - z')\] \[= \int c(z)^* c(z) dz = \int \lvert c(z) \rvert^2 dz\]

관측량 \(Q\)의 기댓값은 (고유값 \(q_{n}\)을 얻을 확률) x (고유값)을 모두 더한 것으로 계산할 수 있다.

\[\langle Q \rangle = \sum_{n} q_{n} \lvert c_{n} \rvert^2, ~~~~ \langle Q \rangle = \int q(z) \lvert c(z) \rvert^2 dz\]

[!NOTE]- \(\hat{Q}\)가 불연속 스펙트럼일 때 \(Q\)의 기댓값 증명{title}

\[\langle Q \rangle = \braket{ \Psi \mid \hat{Q} \Psi } = \braket{ \left( \sum_{n'} c_{n'} \ket{f_{n'}} \right) \mid \left( \hat{Q}\sum_{n} c_{n} \ket{f_{n}} \right) }\] \[= \sum_{n'} \sum_{n} c_{n'}^* c_{n} \braket{ f_{n'} \mid \hat{Q}f_{n} }\]

이때, \(\hat{Q} f_{n} = q_{n} f_{n}\)이므로 다음과 같다.

\[= \sum_{n'} \sum_{n} c_{n'}^* c_{n} \braket{ f_{n'} \mid q_{n}f_{n} }\] \[= \sum_{n'} \sum_{n} c_{n'}^* c_{n} q_{n} \braket{ f_{n'} \mid f_{n} }\] \[= \sum_{n'} \sum_{n} c_{n'}^* c_{n} q_{n} \delta_{n'n}\] \[= \sum_{n} q_{n} c_{n'}^* c_{n} = \sum_{n} q_{n} \lvert c_{n} \rvert^2\]

[!NOTE]- \(\hat{Q}\)가 연속 스펙트럼일 때 \(Q\)의 기댓값 증명{title}

\[\langle Q \rangle = \braket{ \Psi \mid \hat{Q} \Psi } = \braket{ \left( \int c(z') \ket{f_{z'}} dz' \right) \mid \hat{Q} \left( \int c(z) \ket{f_{z}} dz \right) }\] \[= \int dz' \int dz ~c(z')^* c(z) \braket{ f_{z'} \mid \hat{Q} f_{z} }\] \[= \int dz' \int dz ~c(z')^* c(z) \braket{ f_{z'} \mid q(z)f_{z} }\] \[= \int dz' \int dz ~c(z')^* c(z) q(z)\braket{ f_{z'} \mid f_{z} }\] \[= \int dz' \int dz ~c(z')^* c(z) q(z) \delta(z-z')\] \[= \int q(z) c(z)^* c(z) dz = \int q(z) \lvert c(z) \rvert^2 dz\]