양자역학 24. 고유 함수는 무엇을 의미하는가

고유 함수는 무엇을 의미하는가?

Observable의 고유 함수는, Observable을 측정한 후 시스템의 상태와 같다. 이 고유함수를 규격화할 수 있다면 정규 직교 집합을 이루고, 완비성을 갖추고 있으므로 Hillbert 공간을 Span하는 기저로 사용될 수 있다.

(1) 왜 Observable의 고유함수를 규격화할 수 있다면 정규 직교 집합을 이루는가? Observable은 Hermitian이며, Hermitian의 고유 함수는 고유값 스펙트럼이 겹치지 않는 경우 직교함을 증명할 수 있다.

[!NOTE] Hermitian의 고유값 스펙트럼이 겹치지 않으면, 고유 함수는 직교한다.{title}

\[\hat{Q}f = qf, ~~~\hat{Q}g = q'g\]

\(\hat{Q}\)가 Hermitian이면, \(\braket{f \mid \hat{Q} g} = \braket{\hat{Q}f \mid g}\)이므로 다음과 같다.

\[\braket{f \mid q' g} = \braket{qf \mid g}\] \[q' \braket{f \mid g} = q^* \braket{f \mid g}\]

이때 고유값은 실수이므로 \(q^* = q\)와 같다. 만약 고유값 스펙트럼이 겹치지 않았다면, 항상 \(q' \neq q\)임이 보장된다. 따라서 위 방정식을 만족하기 위해선 \(\braket{f \mid g} = 0\)이어야 한다. 증명끝.

그러나, 고유값 스펙트럼이 겹쳐있다면 \(q' = q\)가 가능할 수 있다. 이 경우 직교성 성질을 사용할 수 없다.

\[\braket{f_{n} \mid f_{m}} \neq \delta_{nm}\]

그러나, Gram-Schmidt 직교화 과정을 거치면 겹쳐있는 고유 함수의 집합을 직교 정규 기저 집합으로 변환할 수 있다. \(\{\ket{f_{n}}\}\) 고유 함수 집합을 Gram-Schmidt 직교화 과정을 거쳐 생성한 고유 함수 집합을 \(\{ \ket{\phi_{n}} \}\)라고 하면, 이 집합은 직교 정규 집합이다. 또, 이들은 각각 다른 고유값 \(q\)에 대응한다.

\[\braket{\phi_{n} \mid \phi_{m}} = \delta_{nm}\]

겹침이 없는 Hermitian의 고유 함수는 직교되어 있고, 겹침이 있는 Hermitian의 고유 함수는 Gram-Schmidt 정규화 과정을 거치면 직교한 고유 함수 집합을 만들 수 있다. 따라서 Hermitian의 고유 함수를 정규화할 수 있다면, 고유 함수는 정규 직교 집합이다.

(2) Observable의 고유함수를 규격화할 수 없다면 정규 직교 집합을 이루지 못하는가? 만약 Hermitian 연산자가 연속 스펙트럼 고유값을 가지면, 고유 함수의 제곱적분이 발산해 규격화되지 않는다. 따라서 \(L^2\) 공간 밖에 있다. 이는 고유함수가 힐베르트 공간 밖에 있음을 의미한다. 그러나 Dirac 함수를 사용한 Dirac 직교 규격화가 가능하다.

[!example] Dirac 직교 규격화{title}

\[\psi_{p} (x) = Ae^{ipx / \hbar}\]

예를 들어, 운동량 Operator의 고유함수는 위와 같이 직교화할 수 없다. 그러나 Dirac 직교 규격화를 사용해 직교성을 대신할 수 있다.

\[\braket{\psi_{p'} \mid \psi_{p}} = \int_{-\infty}^{\infty} (A e^{ip'x / \hbar})^* (Ae^{ipx / \hbar}) dx\] \[= \lvert A \rvert^2 \int_{-\infty}^{\infty} e^{i(p-p')x / \hbar} dx\]

Let \(\frac{x}{\hbar} = y\), \(dx = \hbar dy\)

\[= \lvert A \rvert^2 \int_{-\infty}^{\infty}e^{i(p-p')y} \hbar dy\]

이때 \(\delta(x) = \frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{\infty}e^{ikx}dk\)을 사용한다.

\[= \lvert A \rvert^2 2\pi \hbar \delta(p - p')\]

\(\lvert A \rvert^2\)를 \(\frac{1}{2\pi \hbar}\)로 설정하면, 다음 성질이 만족된다.

\[\braket{\psi_{p'} \mid \psi_{p}} = \delta(p - p')\]

이는 마치 불연속적 스펙트럼의 직교성 성질과 유사하다.

\[\braket{f_{n} \mid f_{m}} = \delta_{nm}\]

그러나 엄밀하게 \(\psi_{p}(x)\)는 \(L^2\) 공간 내의 정규직교 집합이 아니다. 그러나 고유 함수는 Rigged Hilbert 공간에 속한다. Hilbert 공간을 \(\mathcal{H}\)라고 하고, Rigged Hilbert 공간을 \(\Phi \subset \mathcal{H} \subset \Phi^\times\)라고 하자. \(\Phi^\times\)는 \(\Phi\)의 쌍대 공간이며, 연속 스펙트럼의 고유 함수는 \(\Phi^\times\)에 속한다. 연속 스펙트럼 고유 함수는 \(\Phi^\times\)에서 일반화된 직교성을 가진다. 그때의 규격화 정의는 다음과 같다.

\[\braket{\psi_{p} \mid \psi_{p'}} = \delta(p - p')\]

(3) 왜 Observable의 고유 함수는 완비성을 갖추고 있는가? 먼저 Hermitian 연산자가 불연속적 스펙트럼 고유값을 가지는 경우를 살펴보자. 이 경우 고유 함수가 Compact하다고 하며, 스펙트럼 정리에 따라 고유 함수가 완비성을 갖춤이 증명되어있다.

Hermitian가 연속 스펙트럼 고유값을 가지는 경우는, Rigged Hilbert 공간에 속한다. 그 고유함수는 \(\Phi^\times\)에서 완비성을 가짐이 증명된다. 임의의 상태 \(\ket{\Psi} \in \mathcal{H}\)는 연속 스펙트럼 고유 함수의 적분으로 근사될 수 있다.

\[\ket{\Psi} = \int c(p) \ket{p} dp\]

따라서, \(\Phi^\times\)를 완전히 Span하는 기저를 사용해 \(\mathcal{H}\) 내의 함수를 근사할 수 있다.

따라서 Hermitian 연산자의 고유 함수는 완비성을 갖춘다.

따라서 Observable의 고유 함수는 Hilbert 공간 또는 Rigged Hilbert 공간을 Span하는 기저로 사용될 수 있다.

Observable의 고유 함수가 기저로 사용된다는 의미는 무엇인가?

\(\hat{Q}\)의 고유 함수 집합을 \(\ket{Q}\)와 같이 표현할 수 있다. 파동 함수의 기저로 사용된다는 뜻은, 이 고유 함수 집합의 선형 결합으로 모든 \(| \Psi \rangle\)을 표현할 수 있다는 것과 같다.

\[\ket{\Psi} = \int c(q) \ket{Q} dq\]

예로 운동량의 고유 함수는 \(\{ \ket{p} \}\) 이므로, 파동 함수를 다음과 같이 쓸 수 있다.

\[\ket{\Psi} = \int c(p) \ket{p} dp\]

이 파동 함수를 고유 함수와 내적하여 기저에 의존한 벡터로 표현할 수 있다.

\[\Phi(p) = \braket{ p \mid \Psi } = c(p)\]

또는 위치에 의존하는 파동 함수는 다음과 같다.

\[\Psi(x) = \braket{ x \mid \Psi } = c(x)\]