양자역학 22. 관측 가능양의 고유값들은 어떻게 구할까

관측 가능양의 고유값들은 어떻게 구하지?

\(\hat{Q}\)의 고유값들을 어떻게 구할 수 있을까? \(\hat{Q}\)가 행렬로 주어지는 경우, 미분 연산자로 주어지는 경우 두가지 경우로 구분할 수 있다.

(1) 행렬 연산자의 경우 고유 방정식을 풀면 된다.

\[\hat{Q} \Psi = q \Psi \implies (\hat{Q} - qI) \Psi = 0\]

만약 \(\hat{Q} - qI\) 행렬의 역행렬이 존재한다면, 그냥 양 변에 역행렬을 곱하면 \(\Psi = 0\)인 노잼 해만 존재한다. 따라서 역행렬이 존재하지 않아야 하며, 그 조건은 Determiant가 0일 때와 같다.

\[\det(\hat{Q} - qI) = 0\]

(2) 미분 연산자의 경우 고유 방정식에 미분 연산자를 대입하여, 미분 방정식을 풀면 된다. 만약 퍼텐셜에 의해 경계조건이 주어진다면 고유값이 양자화된다. 그렇지 않다면, 고유값이 연속적인 값을 갖는다.

고유값의 집합을 스펙트럼이라고 하며, 경계조건이 주어지면 고유값은 불연속 스펙트럼을 가진다. 그렇지 않으면, 연속 스펙트럼을 가진다.

[!example] 무한 퍼텐셜 우물의 해밀토니안 연산자{title}

\[\hat{H} = - \frac{\hbar^2}{2m} \frac{d^2}{dx^2} ~~~ (0 < x < a)\]

고유 방정식에 대입한다.

\[- \frac{\hbar^2}{2m} \frac{d^2 \psi}{dx^2} = E \psi\]

경계조건 \(\psi(0) = \psi(a) = 0\)을 적용하면, 위 미분 방정식의 해는 다음과 같다.

\[\psi_{n}(x) = \sqrt{ \frac{2}{a} } \sin\left( \frac{n\pi x}{a} \right)\]

고유값은 이산 스펙트럼을 갖는다.

\[E_{n} = \frac{n^2\pi^2\hbar^2}{2m a^2}\]

[!example] 임의의 미분 연산자{title}

\[\hat{Q} = \frac{d^2}{d\phi^2}\]

고유 방정식에 대입한다.

\[\frac{d^2 \psi}{d\phi^2} = q \psi\]

일반해는 다음과 같다.

\[\psi_{q}(\phi) = Ae^{\sqrt{ q }\phi}\]

이때, \(\phi\)는 이차원에서의 극좌표다. 따라서 다음과 같은 경계 조건이 존재한다.

\[\psi(\phi + 2\pi) = \psi(\phi)\]

\(\phi = 0\)일 때 위 경계조건을 사용한다.

\[A = Ae^{\sqrt{ q }2\pi} \implies e^{2\pi \sqrt{ q }} = 1\]

복소수가 1이 되려면, 지수가 \(i 2\pi n\)과 같아야 한다.

\[2\pi \sqrt{ q } = i 2\pi n, ~~(n = 0, \pm 1, \pm 2, \dots)\]

따라서 고유값의 스펙트럼은 다음과 같다.

\[q = - n^2 = 0, -1, -4, \dots\]

\(+n\)과 \(-n\) 상태일 때 동일한 고유값을 갖는다. 이런 경우 스펙트럼이 겹쳐있다고 부른다.

[!example] 운동량 연산자{title}

\[\hat{p} = - i\hbar \frac{d}{dx}\]

고유 방정식에 대입한다.

\[- i\hbar \frac{d \psi}{dx} = p \psi\]

일반 해는 다음과 같다.

\[\psi_{p}(x) = A e^{ipx /\hbar}\]

고유값 \(p\)는 모든 실수값이 될 수 있으며, 연속 스펙트럼을 갖는다.