양자역학 21. 결정된 상태가 무엇인가

결정된 상태와, 결정되지 않은 상태?

양자계의 한 상태는 다음과 같다.

\[\ket{\Psi}\]

다음 고유 방정식을 만족하는 상태를, Observable \(\hat{Q}\)에 대해 결정된 상태라고 한다.

\[\hat{Q} \ket{\Psi} = q \ket{\Psi}\]

[!question] 왜 \(\hat{Q}\)에 대한 결정된 상태가 고유 방정식을 만족하는가?{title} 결정된 상태의 물리적인 의미는 무엇인가? 중첩 상태에 있는 양자계를 관측하면 고유 상태로 결정된다. 붕괴 이후 상태를 측정하면 계속 같은 측정값을 얻게 된다. 이때 얻는 측정값이 고유값 \(q\)다.

즉 고유 상태일 때 관측양 \(Q\)의 분산은 0이다. 분산은 편차 제곱의 평균과 같다.

\[\sigma^2 = \langle ( Q - \langle Q \rangle)^2 \rangle\]

\(Q\)를 관측하면 항상 \(q\)를 얻으므로, \(Q\)의 기댓값은 \(\langle Q \rangle=q\)다.

\[= \langle (Q - q)^2 \rangle\] \[= \langle \Psi \mid (\hat{Q} - q)^2 \Psi \rangle\] \[= \langle (\hat{Q} - q) \Psi \mid (\hat{Q} - q) \Psi \rangle = 0\]

\(\braket{v \mid v} = 0\)일 조건은, \(\braket{v \mid v} \geq 0\) 조건으로 \(\ket{v} = 0\)일 때 뿐이다.

\[(\hat{Q} - q)\Psi = 0 \implies \hat{Q} \Psi = q \Psi \implies \hat{Q} \ket{\Psi} = q \ket{\Psi}\]

따라서 \(\ket{\Psi}\)가 \(\hat{Q}\)에 대해 결정된 상태라면, 고유 방정식을 만족한다.

[!question] 상태 \(\ket{\Psi}\)가 \(\hat{A}\)에 대해 결정된 상태이지만, \(\hat{B}\)에 대해 결정된 상태가 아닐 수 있을까?{title} 그렇다. 두 관측 가능량 \(\hat{A}\), \(\hat{B}\)가 비가환적이라면 하나의 관측 가능양이 결정되었을 때 다른 관측 가능양은 결정되지 않을 수 있다.

예를 들어 \(\ket{\Psi}\)를 \(\hat{x}\)를 관측해서 결정된 상태가 되었다고 치자. 이때 \(\hat{p}\)를 관측하면, 확률적으로 다른 값을 얻을 수 있다. 이것이 불확정성 원리다. 이에 대한 유도는 추후 설명한다.

그렇다면, 반대로 두 연산자가 교환되는 관계에 있는 연산자라면, 둘 중 한 연산자에 대해 상태가 결정되면 다른 연산자도 결정된 상태가 되지 않을까? 그렇다. 예를들어, 운동량과 해밀토니안이 그 관계에 있다.

\[[\hat{H}, \hat{p}] = \left[ \frac{\hat{p}^2}{2m}, \hat{p} \right] = \frac{1}{2m} (\hat{p}^2 \hat{p} - \hat{p} \hat{p}^2) = 0\]

그렇다면 결정되지 않은 상태는 무엇인가?

\[\ket{\Psi} = c_{1} \ket{\psi_{1}} + c_{2} \ket{\psi_{2}}\]

위와 같이 중첩된 상태라면, 결정되지 않은 상태다. 이 상태에서 \(\hat{A}\)를 관측하면 \(\ket{\psi_{1}}\) 상태를 얻을 확률이 \(\lvert c_{1} \rvert^2\)이고, \(\ket{\psi_{2}}\) 상태를 얻을 확률이 \(\lvert c_{2} \rvert^2\)와 같다. 이때 분산 \(\sigma_{A}^2\)는 0이 아니다.