양자역학 20. Observable가 무엇인가

Observable (관측 가능량)이 무엇인가?

고전역학에서 관측 가능한 양은 \(Q(x,p)\)와 같이 표현된다. 예를 들어, 운동 에너지와 각 운동량은 다음과 같다.

\[T(x,p) = \frac{p^2}{2m}\] \[L(x,p) = x \times p\]

이는 같은 조건에서 측정시 항상 동일한 결과를 제공한다.

그러나, 양자역학에선 관측량 \(Q(x,p)\)를 위와 같이 단순한 함수로 표현할 수 없다. 같은 조건에서 측정해도, 다른 결과를 제공할 수 있기 때문이다. 함수는 정의상 단일 출력값을 가져야 한다. 때문에 이를 설명하는 다른 수학적 도구를 도입할 필요성이 있다. 그것이 Operator다.

양자계에서 관측량 \(Q(x,p)\)는 같은 조건에서 측정해도 다른 결과가 나올 수 있다. 따라서 평균 측정량인 기댓값이 의미있는 정보다. 기댓값은 다음과 같이 구할 수 있다.

\[\langle Q \rangle = \int \Psi^* \hat{Q} \Psi dx = \langle \Psi\mid\hat{Q} \Psi \rangle\]

그리고, 관측량은 반드시 실수값이다.

\[\langle Q \rangle = \langle Q \rangle^*\]

따라서 다음과 같다.

\[\langle \Psi\mid \hat{Q} \Psi \rangle = \langle \Psi \mid \hat{Q} \Psi \rangle^* = \langle \hat{Q} \Psi \mid \Psi \rangle\]

Hermitian Conjugate의 정의는, 다음과 같다.

\[\langle f \mid \hat{A} g \rangle = \langle \hat{A}^{\dagger} f \mid g \rangle\]

따라서 관측량 Operator에서 다음 조건을 유도할 수 있다.

\[\hat{Q}^{\dagger} = \hat{Q}\]

이런 연산자를 Hermitian Operator라고 하자. 즉, 관측 가능량(Observable) \(\hat{Q}\)는 Hermitian Operator다.

[!example] \(\hat{x}\)는 Hermitian인가?{title}

\[\langle f \mid \hat{x} g \rangle = \int f^* \hat{x} g dx = \int f^* x g dx\]

이때, \(x\)는 실수 값이므로 \(x^* = x\)를 만족한다.

\[= \int (xf)^* g dx = \langle \hat{x}f \mid g \rangle\]

따라서 Hermitian이다.

[!example] \(\hat{p}\)는 Hermitian인가?{title}

\[\langle f \mid \hat{p} g \rangle = \int_{-\infty}^{\infty} f^* \left( -i\hbar \right) \frac{\partial g}{\partial x} dx\] \[= (-i\hbar) f^*g \mid^\infty_{-\infty} - \int_{-\infty}^{\infty} (-i\hbar) \frac{\partial f^*}{\partial x}g dx\]

이때, \((-i\hbar)^* = i\hbar\), \(\frac{\partial f^*}{\partial x} = \left( \frac{\partial f}{\partial x} \right)^*\)임을 이용한다.

\[\int_{-\infty}^{\infty}\left( -i\hbar \frac{\partial f}{\partial x} \right)^* g dx = \langle \hat{p} f \mid g \rangle\]

따라서 Hermitian이다.