양자역학 2. 파동함수란 무엇인가

파동함수는 무엇인가?

하나의 파동함수는 양자계의 하나의 특정 상태를 의미한다. 하지만 그 의미를 직관적으로 파악할 수는 없다.

파동함수는 선형결합으로써 중첩 가능하다. 즉 파동함수를 선형 결합하는 것은, 상태의 중첩과 같다. 파동 함수의 절댓값의 제곱은, 특정 범위에서 입자가 발견될 확률밀도함수다. 파동함수의 집합은 힐베르트 공간을 이룬다. 즉, 파동 함수는 힐베르트 공간의 벡터와도 같다.

슈뢰딩거 방정식의 해는 파동함수로 주어진다. 파동함수가 의미를 가지려면, 파동함수의 절댓값 제곱을 반드시 Normalization해야 한다. \(t=0\)일 때 파동함수를 정규화 해두면, 시간이 변해도 계속 정규화된 파동함수가 유지된다.

\[\int_{-\infty}^{\infty} \lvert \Psi(x,0) \rvert^2 dx = 1\]

만약 파동함수가 발산하거나, \(\Psi=0\)인 경우는 물리적인 의미를 갖지 못하므로, 취급하지 않는다.

[!tip] \(\Psi(x=\pm \infty)=0\)를 만족한다고 정규화 가능하지는 않다.{title} 하지만 정규화가 가능하다면, \(\Psi(x=\pm \infty)=0\)를 반드시 만족한다.

\[\text{정규화 가능}\to \Psi(x=\pm \infty)=0\]

예를들어 \(\lim_{ x \to 0+ }\Psi(x,t)=\infty\)와 같은 예외 케이스가 존재할 수 있다.

시간 t가 변하면 정규화를 다시 해야하는거 아닌가?

결론은 그렇지 않다. \(t=0\)이든, \(t=T\)에서든 한번만 정규화 해두면 된다. 정규화한 값은 시간에 대해서 변하지 않는다.

[!NOTE]- 증명{title} 정규화 식의 시간에 대한 변화율을 계산해보자.

\[\frac{\partial}{\partial t} \int_{-\infty}^{\infty} \lvert \Psi(x,t) \rvert^2 dx = \int_{-\infty}^{\infty} \frac{\partial}{\partial t} (\Psi^*\Psi)dx\] \[= \int_{-\infty}^{\infty} \left( \frac{\partial \Psi^*}{\partial t}\Psi + \Psi^* \frac{\partial \Psi}{\partial t} \right) dx\]

이때, 슈뢰딩거 방정식

\[i\hbar \frac{\partial\Psi}{\partial t} = - \frac{\hbar^2}{2m} \frac{\partial^2\Psi}{\partial x^2} + V\Psi\] \[\implies \frac{\partial\Psi}{\partial t} = \frac{i\hbar}{2m} \frac{\partial^2\Psi}{\partial x^2} - \frac{i}{\hbar}V\Psi\] \[\implies \frac{\partial\Psi^*}{\partial t} = -\frac{i\hbar}{2m} \frac{\partial^2\Psi^*}{\partial x^2} + \frac{i}{\hbar}V\Psi^*\]

를 이용하면 다음과 같다.

\[= \frac{i\hbar}{2m}\int_{-\infty}^{\infty}\left(\Psi^*\frac{\partial^2\Psi}{\partial x^2} - \Psi\frac{\partial^2\Psi^*}{\partial x^2} \right)dx\]

[!warning] 주의! 복소켤레를 취하면 i의 계수의 부호가 변한다.

\[= \frac{i\hbar}{2m} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{\partial}{\partial x} \left(\Psi^*\frac{\partial\Psi}{\partial x} - \Psi\frac{\partial\Psi^*}{\partial x} \right)dx\] \[= \frac{i\hbar}{2m} \left[ \left(\Psi^*\frac{\partial\Psi}{\partial x} - \Psi\frac{\partial\Psi^*}{\partial x} \right) \right]^\infty_{-\infty}\]

이때, 정규화된 \(\Psi\) 또는 \(\Psi^*\)는 \(x \to \pm \infty\)일 때 0으로 가기 때문에 적분의 결과는 0이다. 따라서

\[\frac{\partial}{\partial t} \int_{-\infty}^{\infty} \lvert \Psi(x,t) \rvert^2 dx=0\]

의 결과를 얻는다.

왜 파동함수의 제곱이 입자가 발견될 확률밀도함수인가?

그 이유는 증명되지 않았다. 다만 파동 함수의 제곱이 입자가 발견될 확률밀도라는 해석은 지금까지의 모든 실험적 결과와 일치한다.

모든 물질이 파동이라면, 그 파동의 파장은 어떻게 계산하는가?

\[\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{mv}\] \[h \simeq 2\pi \times 10^{-34}\]