양자역학 16. 푸리에 변환이 무엇인가
푸리에 변환이 무엇인가?
푸리에 변환의 아이디어는 모든 파동, 펄스는 주파수가 다른 기본 파동(\(\sin, \cos\))를 섞어서 표현 가능하다는 것이다. \(\sin\)과 \(\cos\)는 오일러 공식을 사용해서 복소 범위까지 한번에 \(e^{ik x}\)로 표현할 수 있다.
\[e^{ik x} = \cos k x + i \sin k x\]이때 \(k\)는 파수(Wave number) 이며, 파수는 파장과 관계있다.
\[\lambda = \frac{2\pi}{k}\]파수가 클 수록 파장이 짧아지며, 파수가 작을 수록 파장이 커진다.
\[k = \frac{2\pi}{\lambda}\]파수는 단위 길이당 파동이 몇 라디안만큼 변하는 지를 뜻한다.
이제 \(e^{ikx}\)의 계수 \(A(k)\)를 곱하여 모든 \(k\)에 대해 적분한다.
\[\int_{-\infty}^{\infty}A(k)e^{ikx}dk\]계수 \(A(k)\)를 적당히 잘 선택하면 \(x\)에 대한 어떤 함수던지 만들어낼 수 있다.
\[f(x) = \int_{-\infty}^{\infty}A(k)e^{ikx}dk\]이것이 푸리에 변환의 수학적인 의미다. 역푸리에 변환은 양 변에 복소켤레 \(e^{-ik'x}\)를 곱하는데, 그 결과가 디렉 델타 함수임을 이해해야 한다.
[!NOTE] 잠시 디렉 델타 함수에 대해 알아보자. {title} 디렉 델타 함수의 성질을 만족하는 다양한 함수 모양이 존재한다. 어떤 함수열 \(g_{n}(z)\)가 \(n\to \infty\)로 갈 때 다음 두 성질을 만족하면, 그 함수열의 극한이 \(\delta(z)\)라고 말할 수 있다.
\[\text{1. }~^\forall z \neq 0 \iff \lim_{ n \to \infty } g_{n}(z) = 0\] \[\text{2. }~ \lim_{ n \to \infty } \int_{-\infty}^{\infty}g_{n}(z)dz = 1\]위 성질을 만족하는 함수들은 많이 있고, 그것들은 모두 디렉 델타 함수로 근사할 수 있다. 예를 들어 다음과 같은 함수들이 있다.
\[\delta(z) = \lim_{ \sigma \to 0 } \frac{1}{\sqrt{ 2\pi } \sigma}e^{- z^2/2 \sigma^2}\] \[\delta(z) = \lim_{ \epsilon \to 0 } \frac{1}{\pi} \frac{\epsilon}{z^2+\epsilon^2}\]
다음과 같은 함수열을 정의하자.
\[g_{A}(z) = \frac{1}{2\pi}\int_{-A}^{A} e^{ikz}dk\] \[= \frac{1}{2\pi}\left[ \frac{1}{iz} e^{ikz} \right]^A_{-A} = \frac{1}{2\pi iz} (e^{iAz} - e^{-iAz})\] \[= \frac{1}{2\pi iz}(2i \sin Az) = \frac{\sin Az}{\pi z}\]위 함수열은 디렉 델타 함수의 두 성질을 만족한다.
- A가 무한으로 가면 진동수가 무한히 크고 파장이 무한히 짧은 파동이다. z가 0이 아닌 구간에선 값을 0으로 근사할 수 있다.
(엄밀하게 증명하려면 분포 이론 필요함) - \(\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} \frac{\sin x}{x}dx = \pi\)이고, \(Az=t\)로 치환적분하면 적분 결과가 \(A\)에 관계없이 항상 1이다.
따라서 다음 함수는 디렉 델타 함수로 근사 가능하다.
\[\delta(z) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} e^{ikz}dk\]다시 돌아와 푸리에 역변환을 유도하자.
\[\int_{-\infty}^{\infty} f(x)e^{-ik'x}dx = \int_{-\infty}^{\infty}A(k) \int_{-\infty}^{\infty} e^{ikx}e^{-ik'x} dxdk\] \[= \int_{-\infty}^{\infty}A(k) \int_{-\infty}^{\infty}e^{ix(k-k')}dx dk\] \[= \int_{-\infty}^{\infty}A(k) 2\pi \delta(k-k')dk\] \[= 2\pi A(k')\]\(k'\) 대신 \(k\)로 표현하면 다음과 같다.
\[\therefore ~~ A(k) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}f(x)e^{-ikx}dx\]푸리에 변환의 의미는 무엇일까?
시공간으로 표현된 함수 \(f\)를 주파수에 대한 함수로 바꾸는 것이 푸리에 변환이다. 왜 주파수에 대한 함수로 변환하는가? 그 함수에 대한 새로운 관점의 정보를 제공해주기 때문이다.
다음 변수가 켤레 변수(conjugate variables) 관계에 있다.
- 시간(\(t\)) \(\iff\) 주파수(\(\omega,f\))
- 공간(\(x,y,z,\vec{r}\)) \(\iff\) 파수(\(k_{x},k_{y},k_{z},\vec{k}\))
모든 함수를 푸리에 변환할 수 있는가? 그렇진 않다. 함수 \(f\)가 다음 조건 중 하나를 만족하면 푸리에 변환을 할 수 있다.
\[\int_{-\infty}^{\infty}\lvert f(x) \rvert dx < \infty\] \[\int_{-\infty}^{\infty} \lvert f(x) \rvert^2 dx < \infty\][!question] 두번째 조건이 만족하면 자동으로 첫번째 조건이 만족하는거 아닌가?{title} 예외 케이스가 존재한다. 아래 함수는 제곱적분 조건은 만족하지만 절대 적분 조건은 만족하지 않는다.
\[f(x) = \begin{cases} \frac{1}{x} & \text{if } x\geq 1\\ 0 & \text{if } x<1 \end{cases}\]
이런 함수를 \(L^1\) 또는 \(L^2\) 공간에 있는 함수라고 정의한다. 많은 신호 함수나 양자역학의 파동 함수가 이런 함수에 속하기 때문에, 푸리에 변환이 잘 적용된다.
신호란 무엇인가? 신호란 정보다. 정보는 어떻게 매개되는가? 파동 또는 펄스로 매개된다. 예를 들어, 소리 정보는 공기를 매질로 파동 또는 펄스 형태로 이동해 우리 귀에 들어오게 된다. 즉 신호 함수 \(f\)는 파동 또는 펄스와 같다. 즉, 시공간에 대한 정보로 표현된 신호 함수를 주파수에 대한 신호 함수로 변환하면 그 신호가 어떤 주파수 성분들을 얼마나 많이 포함하고 있는지 알 수 있게 된다.
그렇다면 의문점. 파동은 일반적으로 \(f(x,y,z,t)\)로 나타낸다. 이 함수 또한 푸리에 변환이 가능한가? 가능하다. 다음과 같은 4중 적분으로 정의된다.
\[F(\vec{k}, \omega) = \int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty} f(x,y,z,t)e^{-i(\vec{k} \cdot \vec{r} - \omega t)} d\vec{r}dt\]플랑슈렐 정리가 무엇인가?
\(f(x)\)의 제곱적분의 값이 푸리에 변환 한 \(A(k)\)의 제곱 적분 값이 동일함을 보장해주는 정리다.
\[\int \lvert f(x) \rvert^2 dx = \int \lvert A(k) \rvert^2dk\]파동함수 \(\psi(x)\)는 \(L^2\) 공간에 속하는 함수이므로 모두 푸리에 변환할 수 있다. 플랑슈렐 정리에 따라 파동함수가 정규화 되어있으면 푸리에 변환한 함수도 정규화 되어있음이 보장된다.