양자역학 14. 복소 연산자

지수 함수에 복소 연산자를 적용 가능한가?

\[(e^z)^* = e^{z^*}\]

가 성립한다. 왜? \(z=a + ib\) (\(a, b \in \mathbb{R}\))라고 하자.

\[e^{a+ib} = e^a(e^{ib}) = e^a(\cos b + i\sin b)\] \[(e^{a+ib})^* = e^a(\cos b + i\sin b)^* = e^a(\cos b - i\sin b)\] \[= e^a e^{-ib} = e^{a-ib} = e^{z^*}\]

따라서 복소 연산자는 자연 지수함수에 올릴 수 있다. 일반적인 모든 지수함수는 자연 지수함수로 쓸 수 있으므로, 모든 지수함수에도 성립한다.

\[a^x = e^{x\ln a}\] \[(a^x)^* = (e^{x\ln a})^* = e^{(x\ln a)^*}= e^{x^* \ln a} = a^{x^*}\]

아래 같은 경우는 어떻게 적용할 수 있을까?

\[\left( e^{\frac{1}{z}} \right)^*\]

다시 \(z=a+ib\)라고 하자.

\[e^{\frac{1}{a+ib}} = e^{\frac{a-ib}{(a+ib)(a-ib)}} = e^{\frac{a-ib}{a^2 + b^2}} = e^{z'}\]

따라서 똑같이 적용 가능하다.

\[\left( e^{\frac{1}{z}} \right)^* = (e^{z'})^* = e^{z'^*} = e^{\left( \frac{1}{z} \right)^*} = e^{\frac{1}{z^*}}\]

켤레는 곱셈에 분배가 가능하므로, 나눗셈에도 분배 가능하다. 결론은 다음과 같이 쓸 수 있다.

\[\left( e^{\frac{1}{z}} \right)^* = e^{\frac{1}{z^*}}\]

루트 안에 복소 연산자를 어떻게 적용하는가?

\[(\sqrt{ a+ib })^*\]

루트는 괄호 표현으로 사용할 수 있다.

\[(a+ib)^{1/2}\]

어떤 복소수 \(z\)와 실수 지수 \(n\)에 대해 다음 규칙이 성립한다.

\[(z^n)^* = (z^*)^n\]

왜 성립하는가? 복소수 \(z\)는 다음과 같이 쓸 수 있다.

\[z = r e^{i\theta}\]

\(r, \theta\)는 실수값이다.

\[(z^n)^* = ((re^{i\theta})^n)^* = (re^{i\theta n})^* = re^{(i\theta n)^*} = re^{-i\theta n} = (re^{-i\theta})^n = (z^*)^n. \text{ Q.E.D}\]

따라서 다음과 같다.

\[((a+ib)^{1/2})^* = ((a+ib)^*)^{1/2} = (a-ib)^{1/2} = \sqrt{ a-ib }\]

결론은, 복소 연산자는 루트 안에 들어갈 수 있다.

\[\therefore ~~ (\sqrt{ z })^* = \sqrt{ z^* }\]