양자역학 13. 연산자에 Dagger를 적용하는게 무슨 의미인가

연산자에 Dagger를 적용하는게 무슨 의미인가?

임의의 연산자 \(\hat{A}\)의 에르미트 켤레 (또는 수반 연산자) \(\hat{A}^{\dagger}\)는 다음과 같이 정의한다.

\[\langle x, \hat{A}y \rangle = \langle \hat{A}^{\dagger}x, y \rangle\]

예를들어, \(\frac{d}{dx}\) 연산자의 에르미트 켤레는 다음과 같다.

\[\left( \frac{d}{dx} \right)^{\dagger} = - \frac{d}{dx}\]

위 연산자는 \(x=\pm \infty\)일 때 0으로 수렴하는 함수일 때만 사용 가능하다. 이것이 연산자의 Domain이다. 연산자 또한 함수처럼, 모든 함수가 연산자의 유효한 입력이 되지 않을 수 있다.

증명은 다음과 같다. \(x=\pm \infty\)일 때 0으로 수렴하는 두 복소 함수 \(f, g\)에 대해 생각해보자.

\[\left\langle f, \frac{d}{dx} g \right\rangle = \int_{-\infty}^{\infty} f^* \frac{dg}{dx} dx\] \[= f^* g\mid^\infty_{-\infty} - \int_{-\infty}^{\infty} \frac{d f^*}{dx} g dx\]

켤레 연산자는 선형성이 있으므로, \(\frac{df^*}{dx} = (\frac{df}{dx})^*\)가 성립된다.

\[\frac{df^*}{dx} = \frac{f^*(x+dx) - f^*(x)}{dx} = \left( \frac{f(x+dx)-f(x)}{dx} \right)^* = \left( \frac{df}{dx} \right)^*\]

그리고, \(f^*g\)는 0으로 수렴한다.

\[= \int_{-\infty}^{\infty} \left( - \frac{d}{dx} f \right)^* g dx = \langle \left( \frac{d}{dx} \right)^{\dagger} f, g \rangle\] \[\therefore ~ \left( \frac{d}{dx} \right)^{\dagger} = - \frac{d}{dx}\]

[!example] \(\hat{a}_{\pm} = \frac{1}{\sqrt{ 2 \hbar m\omega }} (\mp i \hat{p} + m\omega x)\) 연산자의 수반 연산자를 구해보자.{title}

\[\langle f, \hat{a}_{\pm}g \rangle = \frac{1}{\sqrt{ 2 \hbar m \omega }} \int_{-\infty}^{\infty} f^* \left( \mp i\hat{p} + m\omega x\right)g dx\] \[= \frac{1}{\sqrt{ 2\hbar m\omega }} \int f^*\left( \mp i \left( - i\hbar \frac{d}{dx} \right) + m\omega x \right) g dx\] \[= \frac{1}{\sqrt{ 2\hbar m\omega }} \left( \int f^* \left( \mp \hbar \frac{d}{dx}\right)gdx + \int f^* (m \omega x) g dx \right)\]

첫번째 항을 부분적분한다.

\[= \frac{1}{\sqrt{ 2\hbar m\omega }} \left( \mp \hbar f^* g \mid ^\infty_{-\infty} - \int \mp \hbar \left( \frac{df^*}{dx} \right) g dx + \int f^* (m\omega x )g dx\right)\] \[= \frac{1}{\sqrt{ 2\hbar m\omega }} \left( \int \left( \pm \hbar \frac{d}{dx} + m\omega x\right) f^* g dx \right)\] \[= \int (\hat{a}_{\mp} f^*)g dx = \langle (\hat{a}_{\pm})^{\dagger}f,g \rangle\] \[\implies \hat{a}_{\mp}f^* = ((\hat{a}_{\pm})^{\dagger}f)^*\]

양 변에 켤례 연산자를 취한다.

\[(\hat{a}_{\mp} f^*)^* = (((\hat{a}_{\pm})^{\dagger} f)^*)^*\] \[\implies (\hat{a}_{\mp} f^*)^* = (\hat{a}_{\pm})^{\dagger} f\]

[!error] 이때 주의할 점! \((\hat{a}_{\mp}f^*)^* \neq (\hat{a}_{\mp})^* f\){title} 연산자가 함수에 적용될 때 켤레 연산자 \(*\)는 분배할 수 없다. 다음과 같은 상황은 모두 분배가 가능하다.

\[(f+g)^* = f^* + g^*\] \[(cf)^* = c^* f^*\] \[(f \cdot g)^* = f^* \cdot g^*\]

하지만 연산자가 함수에 적용되는 상황은 안된다.

\[(\hat{A}f)^* \neq \hat{A}^* f^*\]

좌변의 의미는 \(\hat{A}f\) 함수에 켤레 연산자를 취하는 의미이고, 우변의 의미는 \(f^*\) 함수에 \(\hat{A}^*\) 연산자를 취하라는 뜻이다. 이것은 서로 같지 않다.

\[(\hat{a}_{\mp} f^*)^* = \left( \frac{1}{\sqrt{ 2\hbar m\omega }} \left( \pm \hbar \frac{d}{dx} + m\omega x \right)f^* \right)^*\] \[= \frac{1}{\sqrt{ 2\hbar m\omega }} \left( \pm \hbar \frac{df^*}{dx} + m\omega xf^* \right)^*\] \[= \frac{1}{\sqrt{ 2\hbar m\omega }}\left( \left( \pm \hbar \frac{df^*}{dx} \right)^* + (m\omega xf^*)^* \right)\] \[= \frac{1}{\sqrt{ 2\hbar m\omega }} \left( \pm \hbar \left( \left( \frac{df}{dx} \right)^* \right)^* + m\omega xf \right)\] \[= \frac{1}{\sqrt{ 2\hbar m\omega }} \left( \pm \hbar \frac{d}{dx} + m\omega x \right)f\] \[= \hat{a}_{\mp}f = (\hat{a}_{\pm})^{\dagger} f\] \[\therefore ~ (\hat{a}_{\pm})^{\dagger} = \hat{a}_{\mp}\]

\(\dagger\)와 \(*\) 연산자가 혼란스럽다

\(*\)는 복소 켤레를 구하는 연산자다. \(\dagger\)는 복소 켤레와 전치를 동시에 취하는 연산자다. 표준 내적 정의에서 사용되는 \(*\)는 복소 켤레를 구하는 의미이다.

\[\langle \vec{u}, \vec{v} \rangle = \sum_{i} u_{i}^* v_{i}\] \[\langle f, g \rangle = \int f^* g dx\]