양자역학 11. 왜 연산자는 교환법칙이 성립하지 않을까

왜 연산자는 교환법칙이 성립하지 않는가?

불확정성 원리 때문이다. 만약 \(\hat{x} \hat{p} = \hat{p} \hat{x}\)라면,

\[\hat{x} \hat{p} \Psi = \hat{p} \hat{x} \Psi\]

가 성립된다. 오퍼레이터에 파동함수를 곱한다는것은 측정한다는것과 같다. 위 식의 해석은 운동량을 관측하고 위치를 관측한 결과와, 위치를 관측하고 운동량을 관측한 결과가 서로 같다는 것이다. 이는 불확정성 원리에 위배된다. 왜?

교환법칙이 성립하지 않는 정도를 나타내는 양이 Commucator, 커뮤케이터이다.

\[[ \hat{A}, \hat{B} ] \equiv \hat{A} \hat{B} - \hat{B} \hat{A}\]

두 오퍼레이터의 커뮤케이터가 0이면 불확성도가 없다. \(\hat{x}\)과 \(\hat{p}\)는 불확정성 원리에 따라 커뮤케이터가 0이 아니다.

커뮤케이터는 \([\hat{a}_{-}, \hat{a}_{+}] = 1\)일 때

\[\hat{a}_{-}\hat{a}_{+} - \hat{a}_{+}\hat{a}_{-} = 1 \implies \hat{a}_{-}\hat{a}_{+} = 1 + \hat{a}_{+}\hat{a}_{-}\]

\(\hat{a}_{-}\hat{a}_{+}\) 대신 \(1+\hat{a}_{+}\hat{a}_{-}\)를 사용할 수 있다는 것에 의미가 있다.