양자역학 0. 공리, 부록

게시 2025/07/20 업데이트 2025/07/20

By 신희곤

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양자역학 0. 공리, 부록

기본 공리

[!tip] 양자역학을 이해할 수 있는가?{title} 양자역학은 이해하기 아주아주 어렵다.. 기본적인 공리 몇개를 그냥 받아들인 후 논리를 전개하자.\

모든 물질은 입자임과 동시에 파동이다.
양자를 관측하면 중첩 상태에 있던 양자가 고유 상태로 붕괴한다. 어떤 고유 상태로 붕괴할지는 확률로 알 수 있다.
1. 쉽게 말하면, 양자계(아주 작은 시스템)에서 모든 상태는 중첩되어있고 외부에서 슥 보려하면 한가지 상태만 관측된다.
관측이란 말 그대로 어떤 상태인지 보는 것이 관측이다.
1. 즉, 정보를 주는 양자계와의 모든 상호작용을 일컫는다.
2. 관측을 그저 다른 양자와의 상호작용이라고 설명하면, 이중 슬릿 실험이 설명되지 않는다. 슬릿을 통과하는 전자는 주변에 퍼져있는 빛과 계속 상호작용하며, 빛과 상호작용하면 중첩상태가 붕괴되어 물결무늬를 그리지 않을 것이다.
3. 상호작용은 우리에게 정보를 주는 상호작용과, 정보를 주지 않는 상호작용으로 구분된다. 정보를 주는 상호작용이 일어나면 중첩 상태는 붕괴되어 우리에게 특정한 정보만을 제공한다.
4. 양자계는 위치, 운동량, 에너지 등의 여러 상태가 존재한다. 이를 왜 중첩 상태로 표현하는가? 정확히 무슨 값인지 모르기 때문이다. (이를 불확성도가 있다고 표현한다.) 관측을 하면 어떤 값인지 알게 된다. 즉, 알지 못했기 때문에 중첩 상태로 표현한 값을 관측을 통해 어떤 하나의 고유 값으로 특정 지을 수 있다. 이것이 중첩 상태의 붕괴다. 붕괴 과정은 비가역적이다. 붕괴되었을 때 다시 이전 중첩 상태로 돌아갈 수 없다. 여기서 의문점은 다음과 같다. 붕괴 과정이 비가역적이라면, 최초에 한번 관측하는 순간 그 입자는 평생 붕괴된 상태로 존재해야 하는 것 아닌가? 그렇지 않다. 만약 붕괴된 입자가 새로운 상태로 변하고 (위치가 이동하거나, 속도가 바뀌거나 등..) 그것을 우리가 관측하지 않으면 그 입자는 어디있는지 정확히 모르는 상태가 된다. 즉, 새로운 중첩상태가 된다. 만약 입자를 계속 관측하고 있다면 새로운 상태 중첩 -> 붕괴 -> 새로운 상태 중첩 -> 붕괴 -> …가 계속 반복된다.
5. 관측이란 그 시스템에 대한 정보를 알게 되는 것. 어떤 입자를 딱 보면 대충 어디에 있고 어떤 속도를 갖는지 알게되잖아? 이게 관측이고 붕괴임.
양자의 공간, 시간에 따르는 모든 상태는 슈뢰딩거 방정식으로부터 구할 수 있다.
에너지는 양자계의 핵심 정보다. 양자역학을 풀었다는 것은, 에너지를 구했다는 것과 같다.
파동함수는 항상 정규화 되었는지 체크하라.
대부분의 상황에서 슈뢰딩거 방정식은 풀 수 없다. 따라서, 그나마 풀 수 있는 몇개 상황을 풀고 분석하는게 중요하다.

부록

\(\displaystyle i\hbar \frac{\partial\Psi}{\partial t} = - \frac{\hbar^2}{2m} \frac{\partial^2\Psi}{\partial x^2} + V\Psi\)
\(\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} \lvert \Psi(x,0) \rvert^2 dx = 1\)
\(\displaystyle \lambda = \frac{h}{p}\)
\(E=hf\)
\(\displaystyle\sigma_{x} \sigma_{p} \geq \frac{\hbar}{2}\)
가우시안 적분
1. \(\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty}e^{-ax^2}dx = \sqrt{ \frac{\pi}{a} }\)
2. \(\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty}xe^{-ax^2}dx = 0\)
3. \(\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty}x^2e^{-ax^2}dx = \frac{1}{2a}\sqrt{ \frac{\pi}{a} }\)
기댓값
1. \(\displaystyle \langle x \rangle = \int \Psi^* \hat{x} \Psi dx\)
2. \(\displaystyle \langle p \rangle = \int \Psi^* \hat{p} \Psi dx\)
  1. 또는 \(\displaystyle \langle p \rangle =m \frac{d \langle x \rangle}{dt}\).
  2. 이는 \(\langle x \rangle\)를 \(\Psi(x,t)\)에 대해서 유도했을 때만 사용 가능하다.
  3. 특정한 시간에 대한 기댓값 \(\langle x \rangle\)를 넣는게 아님.
3. \(\displaystyle \langle f(x,p) \rangle = \int \Psi^* f\left( x, -ih \frac{\partial}{\partial x} \right) \Psi dx\)
연산자
1. \(\hat{x} = x\)
2. \(\displaystyle \hat{p} = - i\hbar \frac{\partial}{\partial x}\)
퍼텐셜 에너지가 시간에 대해 무관한 경우
1. \(\displaystyle - \frac{\hbar^2}{2m} \frac{d^2\psi}{dx^2} + V(x) \psi = E\psi\) : Time-independent 슈뢰딩거 방정식
2. 파동함수는 직교규격화 성질이 있다. \(\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty}\psi_{m}^* \psi_{n} dx = \delta_{mn}\)
3. Boundry Condition
  1. \(\psi \text{는 항상 연속이다.}\)
  2. \(\frac{d\psi}{dx}\text{는 퍼텐셜이 무한대인 점을 제외한 곳에서 연속이다.}\)
4. \(\displaystyle E\equiv i\hbar \frac{1}{\varphi}\frac{\partial \varphi}{\partial t}\)
5. \(\displaystyle \varphi(t) = e^{-i E t / \hbar}\)
6. \(\displaystyle \Phi(x,t) = \sum_{n=1}^{\infty} c_{n} \Phi_{n} = \sum_{n=1}^{\infty} c_{n} \psi_{n}(x) e^{-iE_{n}t / \hbar}\)
무한 퍼텐셜 우물
1. 무한 퍼텐셜 우물은 퍼텐셜 에너지가 시간에 대해 무관하므로, 일반해는 8-6. 와 같이 쓰여진다.
2. \(\displaystyle \psi_{n}(x) = \sqrt{ \frac{2}{a} } \sin \frac{n\pi}{a}x\)
3. \(\displaystyle E_{n} = \frac{k^2 \hbar^2}{2m} = \frac{\hbar^2 \pi^2 n^2}{2ma^2}\)
정준교환관계: \([x, \hat{p}] = i \hbar\)
조화 진동자
1. 퍼텐셜이 \(\displaystyle V(x) = \frac{1}{2}kx^2 = \frac{1}{2}m\omega^2x^2\)으로 주어지는 상황.
2. 사다리 연산자
  1. \(\displaystyle \hat{a}_{\pm} = \frac{1}{\sqrt{ 2\hbar m \omega }} ( \mp i \hat{p} + m \omega x)\)
  2. \(\hat{H} = \hbar \omega\left( \hat{a}_{\pm}\hat{a}_{\mp} \pm \frac{1}{2} \right)\)
  3. \([\hat{a}_{-}, \hat{a}_{+}] = 1\), \([\hat{a}_{+}, \hat{a}_{-}] = -1\)
  4. \(\hat{a}_{+}\psi_{n} = \sqrt{ n+1 } \psi_{n+1}\)
  5. \(\hat{a}_{-} \psi_{n} = \sqrt{ n } \psi_{n-1}\)
3. \(\displaystyle \psi_{n}(x) = \frac{1}{\sqrt{ n! }} (\hat{a}_{+})^n \psi_{0}\)
4. \(E_{n} = (\frac{1}{2} + n) \hbar \omega\)
5. \(\hat{a}_{\pm}^{\dagger} = \hat{a}_{\mp}\)
  1. 연산자에 대거를 적용한다는 의미는 다음과 같다.
  2. \(\displaystyle \langle f, \hat{A}g \rangle = \langle\hat{A}^{\dagger}f, g \rangle\)
6. TIP. 조화 진동자는 상수를 \(\alpha \equiv \left( \frac{m\omega}{\pi \hbar} \right)^{1/4}\), \(\xi \equiv \sqrt{ \frac{m\omega}{\hbar} }x\)로 설정하면 편하다.
  1. \(\displaystyle \psi_{0}(x) = \alpha e^{-\frac{1}{2} \xi^2}\)
  2. \(\displaystyle \psi_{1}(x) = \sqrt{ 2 }\alpha \xi e^{-\frac{1}{2} \xi^2}\)
푸리에 변환
1. \(\displaystyle f(x) = \frac{1}{\sqrt{ 2\pi }} \int_{-\infty}^{\infty} A(k) e^{ikx}dk\)
2. \(\displaystyle A(k) = \frac{1}{\sqrt{ 2\pi }} \int_{-\infty}^{\infty} f(x)e^{-ikx}dx\)
3. 역변환 유도 TIP. \(\displaystyle \delta(x) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} e^{ikx}dk\)임을 응용.
자유입자
1. 자유 입자는 하나의 고정된 상태를 가질 수 없다.
2. \(\displaystyle \Psi(x,t) = \frac{1}{\sqrt{ 2\pi }} \int_{-\infty}^{\infty} \phi(k) e^{i(kx - \omega t)}dk\), \(\omega = \frac{\hbar k^2}{2m}\)
3. \(\displaystyle \Psi(x,0) = \frac{1}{\sqrt{ 2\pi }} \int_{-\infty}^{\infty} \phi(k) e^{ikx}dk\)
4. \(\displaystyle \phi(k) = \frac{1}{\sqrt{ 2\pi }} \int_{-\infty}^{\infty}\Phi(x,0)e^{-ikx}dx\)
5. \(\displaystyle v_{phase} = \frac{\omega}{k}\), \(\displaystyle v_{group} = \frac{d\omega}{dk}\)
6. wave number \(k\)와 다른 물리량의 관계 : \(\displaystyle \lambda = \frac{2\pi}{k}\), \(\displaystyle p = \hbar k\), \(\displaystyle \omega = \frac{\hbar k^2}{2m}\)
구속 상태와 충돌 상태
1. \(E < V(\infty) ~\cap ~E < V(-\infty) \implies \text{구속}\)
2. \(E > V(\infty) ~\cap ~E > V(-\infty) \implies \text{충돌}\)
3. 퍼텐셜이 \(x=\pm \infty\)일 때 0이면, \(E<0 \implies \text{구속}\), \(E > 0 \implies 충돌\)
디렉 델타함수 퍼텐셜 \(V(x)= - \alpha \delta(x)\)
1. Boundry Condition
  1. \(\psi_{1}(0) = \psi_{2}(0)\)
  2. \(\displaystyle \psi_{2}'(0) - \psi_{1}'(0) = -\frac{2m\alpha}{\hbar^2} \psi_{1}(0)\) : 이는 Time indenpendent S.E에 \(V(x) = - \alpha \delta(x)\)를 넣어 유도할 수 있다.
2. 구속 상태
  1. 외부에서 들어오는 양자의 에너지가 \(E<0\)면 구속상태로 해석한다. 델타 퍼텐셜에 구속되면 하나의 상태를 갖게 되고, 그 에너지는 \(\displaystyle E= - \frac{\kappa^2 \hbar^2}{2m}\)와 같고 파동함수는 \(\psi(x) = \sqrt{ \kappa }e^{-\kappa \lvert x \rvert}\)와 같다.
  2. \(\displaystyle \kappa^2 = - \frac{2mE}{\hbar^2}\)
  3. 두번째 바운더리 컨디션으로 \(\kappa\)를 구할 수 있다. \(\displaystyle \kappa = \frac{m \alpha}{\hbar^2}\)
  4. \(\psi_{1}(x) = \sqrt{ \kappa } e^{\kappa x}\), \(\psi_{2}(x) = \sqrt{ \kappa } e^{-\kappa x}\)
3. 충돌 상태
  1. 외부에서 들어오는 양자의 에너지가 \(E>0\)면 충돌상태로 해석한다. 특정 포텐셜에 구속되지 않으므로 상태가 양자화되지 않는다. 자유 입자와 같으므로, 하나의 고유 상태는 정규화되지 않는다. 다만, 에너지 \(E\)를 알고 있으면 반사파의 확률과 투과파의 확률은 계산 가능하다.
  2. 유도 과정에선 파동이 오른쪽에서 충돌하는 상황만 가정한다.
  3. \(\displaystyle \beta \equiv \frac{m\alpha}{k \hbar^2}\), \(\displaystyle k^2 \equiv \frac{2mE}{\hbar^2}\)
  4. \(\psi_{1}(x) = Ae^{ikx} + Be^{-ikx}\), \(\psi_{2}(x) = Fe^{ikx}\)
  5. \(\displaystyle R = \frac{\lvert B \rvert^2}{\lvert A \rvert^2} = \frac{\beta^2}{1+\beta^2}\), \(\displaystyle T = \frac{\lvert F \rvert^2}{\lvert A \rvert^2} = \frac{1}{1+\beta^2}\)

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