기초전자기학 8. 옴의 법칙이 무엇인가

옴의 법칙이 무엇인가?

대부분의 물질에서 전류밀도 \(\vec{J}\)는 단위 전하가 받는 힘 \(\vec{f}\)에 비례한다. 비례상수 \(\sigma\)를 사용하면 다음과 같다.

\[\vec{J} = \sigma \vec{f}= \sigma(\vec{E} + \vec{v} \times \vec{B})\]

이때, 전하들의 평균 표류 속도는 대부분 아주 작으므로 \(\vec{v} \times \vec{B}\)는 무시 가능하다. 따라서

\[\vec{J} = \sigma \vec{E}\]

로 쓸 수 있고, 이것을 옴 법칙(Ohm’s law) 라고 한다. 옴 법칙이 항상 맞는 법칙은 아니다. \(\vec{J} = \sigma \vec{f}\) 관계식을 만족하는 물질에 대해서만 성립한다. 그런 물질을 옴성 물질이라 하며 금, 구리, 철 등과 같은 대부분의 물질에 해당한다. 비옴성 물질은 어떤 것이 있는가? 대표적으로 반도체, 초전도체 등이 그 예다. \(\vec{J}\)가 \(\vec{f}\) 뿐만 아니라 다른 요인과도 관계가 있어 \(\sigma\)가 상수가 아니기 때문에 옴 법칙과 맞지 않는다.

[!example] 전도도가 \(\sigma\)인 단면적 \(A\), 길이 \(L\)인 도선이 있다. 양 끝의 전위차가 \(V\)일 때, 전류는 얼마인가?{title}

전기장은 도선 속에 고르게 퍼져있다. (증명 생략). 따라서, 옴 법칙 \(J=\sigma E\)에 따라 \(J\)도 일정하다.

\[I=JA = \sigma EA\]

\(E\)와 \(V\)의 관계는 무엇일까?

\[E=-\nabla V \implies E = - \frac{dV}{dz}\]

이때 E가 일정하므로, 전기 포텐셜은 선형적으로 변화한다. (중력이 일정하므로, 중력 퍼텐셜은 선형적으로 변화하듯이) \(V=mgh \implies V=Fh \implies F=\frac{V}{h}\)이었듯이, \(E=\frac{V}{L}\)로 기술 가능하다.

\[I=\sigma EA= \frac{\sigma A}{L}V\]

전류는 전위차와 비례한다. 이 관계식은 전통적으로 다음과 같이 써왔다.

\[V=IR\]

이것이 흔히 배웠던 특정 형태의 옴 법칙이다.

\(\sigma\)를 conductivity (전도도), \(\sigma\)의 역수를 resistivity (비저항) \(\rho = \frac{1}{\sigma}\) 라고 부른다. 흔히 저항이라고 부르는, 단위가 옴인 \(R\)은 저항 (resistance)이 맞다. 이 \(R\) 값은 회로의 모양에 의존한다. 따라서 물질의 저항도는 resistivity 항을 사용한다. 예를 들어 완전 도체는 \(\rho \to 0\)에 가까우며, 전도도는 \(\sigma \to \infty\)로 볼 수 있다.

왜 로렌츠 법칙에서 순간 속도가 아닌 평균 표류 속도를 사용하는가?

전하의 순간 속도는 매우 빠르다. 상온에서 대략 \(\sim 10^6 m / s\)이다. 열 에너지로 인해 빠르게 움직이기 때문이다. 열 에너지로 의한 속도의 방향은 랜덤하다. 따라서, 그 순간 속도가 만들어내는 \(\vec{v} \times \vec{B}\) 힘 또한 랜덤이다. 대부분이 상쇄되기 때문에, 순간 속도로 인해 받는 힘은 고려하지 않는다. 이것이 평균 표류 속도를 사용하는 이유다.

왜 평균 표류 속도가 매우 느린가? 전하의 속도는 빠른 것 아니었나?

스위치를 키자마자 전구에 불이 들어온다. 따라서 전하의 속도는 아주 빠른 것처럼 보인다. 이러한 오해는 전파 속도와 실제 전하의 이동 속도의 혼동에서 비롯된다. 전자기장의 전파 속도는 빛의 속도로 아주 빠르다. 마치 호스 끝에 물을 밀어 넣으면, 반대쪽 호스에서 물이 바로 나오는 원리가 전구의 불이 바로 켜지는 원리와 같다. 하지만 전자는 움직이면서 다른 전자, 물질들과 계속해서 부딪히기 때문에 실제 표류 속도는 느리다. 마치 호스 시작점에 들어간 물 분자가 반대쪽 끝에 나오는 시간은 오래 걸리는 것과 같다.

전하가 움직일때 자기장에 의해 힘을 받는다라.. 그렇다면,

움직임의 기준이 무엇인가?

전하가 움직인다는 것은, 자기장에 대해 상대적으로 움직일 때 전하가 힘을 받는다. 자기장과 전하가 서로 똑같은 속도로 움직이면, 전하는 힘을 받지 않는다.