기초전자기학 28. 금속 관 내에 전자기파를 넣으면 어떻게 될까

도파관이 무엇인가?

속이 비어있는 도체 관에 전자기파를 쏘면 전자기파가 도체 내부를 침투하지 못하면서 도체 관 내부에 갇힌다. 속이 비어있는 도체 관을 도파관(wave guide) 이라고 한다. 우리가 살펴볼 도파관은 완전 도체이며, 단면 모양이 일정하다고 가정한다.

도파관 내부의 전자기파의 일반해를 구해보자. 도체 경계에서 맥스웰 방정식에서 유도되는 경계 조건은 다음과 같다.

\[D^\bot_{1} - D^\bot_{2} = \sigma_{f}, ~~B^\bot_{1} - B^\bot_{2} = 0, ~~ E^\parallel_{1} - E^\parallel_{2} = 0, ~~H^\parallel_{1} - H^\parallel_{2} = K_{f}\]

도파관은 완전 도체이므로 표면의 참된 표면 전류가 존재하며, 도체 내부의 자유 전하가 표면에 쏠리므로 표면 전하 또한 존재한다.

도파관 내부의 전기장과 자기장의 해는 다음과 같다.

\[\vec{E}(x,y,z,t) = \vec{E}_{0}(x,y)e^{i(kz-\omega t)}\] \[\vec{B}(x,y,z,t)=\vec{B}_{0}(x,y)e^{i(kz-\omega t)}\]

도파관 내부의 전기장과 자기장은 다음 맥스웰 방정식을 만족해야 한다.

\[\nabla \cdot \vec{E} = 0, ~~\nabla \cdot \vec{B} = 0, ~~ \nabla \times \vec{E} = - \frac{\partial \vec{B}}{\partial t}, ~~\nabla \times \vec{B} = \mu_{0}\epsilon_{0}\frac{\partial \vec{E}}{\partial t} = \frac{1}{c^2} \frac{\partial \vec{E}}{\partial t}\]

목표는 미분 방정식과 경계 조건을 만족하는 \(\vec{E}_{0}(x,y)\), \(\vec{B}_{0}(x,y)\)를 찾는 것이다.

\[\vec{E}_{0}(x,y) = E_{0,x}(x,y) \hat{x} + E_{0,y}(x,y)\hat{y} + E_{0,z}(x,y)\hat{z}\] \[\vec{B}_{0}(x,y) = B_{0,x}(x,y) \hat{x} + B_{0,y}(x,y)\hat{y} + B_{0,z}(x,y)\hat{z}\]

맥스웰 방정식의 3, 4번을 사용한다. Curl은 다음과 같다.

\[\nabla \times \vec{E} = \begin{vmatrix} \hat{x} & \hat{y} & \hat{z} \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ E_{x} & E_{y} & E_{z} \end{vmatrix}\]

3번의 각 성분으로 다음 식을 얻는다.

\[\hat{x}:~\frac{\partial E_{z}}{\partial y} - \frac{\partial E_{y}}{\partial z} = - \frac{\partial B_{x}}{\partial t} \implies \frac{\partial E_{z,0}}{\partial y} - ik E_{y,0} = - (-i\omega)B_{x,0} = i\omega B_{x,0}\] \[\hat{y}: ~ \frac{\partial E_{x}}{\partial z} - \frac{\partial E_{z}}{\partial x} = - \frac{\partial B_{y}}{\partial t} \implies ikE_{x,0} - \frac{\partial E_{z,0}}{\partial x} = - (-i\omega) B_{y,0} = i\omega B_{y,0}\] \[\hat{z}: ~ \frac{\partial E_{y}}{\partial x} - \frac{\partial E_{x}}{\partial y} = - \frac{\partial B_{z}}{\partial t} \implies \frac{\partial E_{y,0}}{\partial x} - \frac{\partial E_{x,0}}{\partial y} = - (-i\omega)B_{z,0} = i\omega B_{z,0}\]

4번의 각 성분으로 다음 식을 얻는다.

\[\hat{x}: ~ \frac{\partial B_{z}}{\partial y} - \frac{\partial B_{y}}{\partial z} = \frac{1}{c^2} \frac{\partial E_{x}}{\partial t} \implies \frac{\partial B_{z,0}}{\partial y} - ik B_{y,0} = - \frac{i\omega}{c^2} E_{x,0}\] \[\hat{y}:~ \frac{\partial B_{x}}{\partial z} - \frac{\partial B_{z}}{\partial x} = \frac{1}{c^2} \frac{\partial E_{y}}{\partial t} \implies ikB_{x,0} - \frac{\partial B_{z,0}}{\partial x} = - \frac{i\omega}{c^2} E_{y,0}\] \[\hat{z}: ~ \frac{\partial B_{y}}{\partial x} - \frac{\partial B_{x}}{\partial y} = \frac{1}{c^2} \frac{\partial E_{z}}{\partial t} \implies \frac{\partial B_{y,0}}{\partial x} - \frac{\partial B_{x,0}}{\partial y} = - \frac{i\omega}{c^2} E_{z,0}\]

위 식들을 연립해서 \(\vec{E}_{0}(x,y), \vec{B}_{0}(x,y)\)을 찾아보자. \(E_{x,0}, E_{y,0}\)은 다음과 같다.

\[E_{x,0} = \frac{i}{\left( \frac{\omega}{c} \right)^2 - k^2}\left[ k \frac{\partial E_{z,0}}{\partial x} + \omega\frac{\partial B_{z,0}}{\partial y} \right]\] \[E_{y,0} = \frac{i}{\left( \frac{\omega}{c} \right)^2 - k^2}\left[ k \frac{\partial E_{z,0}}{\partial y} - \omega\frac{\partial B_{z,0}}{\partial x} \right]\]

[!NOTE]- 연립 과정 (\(E_{x,0}\))만{title}

\[E_{x,0} = - \frac{c^2}{i\omega}\left[ \frac{\partial B_{z,0}}{\partial y} - ik B_{y,0} \right]\] \[= \frac{ic^2}{\omega}\left[ \frac{\partial B_{z,0}}{\partial y} - \frac{ik}{i\omega}\left( ik E_{x,0} - \frac{\partial E_{z,0}}{\partial x} \right) \right]\] \[= \frac{ic^2}{\omega}\left[ \frac{\partial B_{z,0}}{\partial y} - i\frac{k^2}{\omega} E_{x,0} +\frac{k}{\omega} \frac{\partial E_{z,0}}{\partial x} \right]\] \[\implies \left[1 - \frac{c^2k^2}{\omega^2} \right] E_{x,0}= \frac{ic^2}{\omega}\left[ \frac{\partial B_{z,0}}{\partial y} + \frac{k}{\omega} \frac{\partial E_{z,0}}{\partial x} \right]\] \[\implies \left[1 - \frac{c^2k^2}{\omega^2} \right] E_{x,0}= \frac{ic^2}{\omega^2}\left[ \omega\frac{\partial B_{z,0}}{\partial y} + k \frac{\partial E_{z,0}}{\partial x} \right]\] \[\implies E_{x,0} = \frac{i}{\frac{\omega^2}{c^2}\left( 1-\frac{c^2k^2}{\omega^2} \right)} \left[ \omega\frac{\partial B_{z,0}}{\partial y} + k \frac{\partial E_{z,0}}{\partial x} \right]\] \[= \frac{i}{\left( \frac{\omega}{c} \right)^2 - k^2}\left[ \omega\frac{\partial B_{z,0}}{\partial y} + k \frac{\partial E_{z,0}}{\partial x} \right]\]

\(B_{x,0}\), \(B_{y,0}\)을 같은 연립과정을 거쳐서 구하면 다음과 같다.

\[B_{x,0} = \frac{i}{\left( \frac{\omega}{c} \right)^2 - k^2} \left[ k \frac{\partial B_{z,0}}{\partial x} - \frac{\omega}{c^2} \frac{\partial E_{z,0}}{\partial y}\right]\] \[B_{y,0} = \frac{i}{\left( \frac{\omega}{c} \right)^2 - k^2} \left[ k \frac{\partial B_{z,0}}{\partial y} + \frac{\omega}{c^2} \frac{\partial E_{z,0}}{\partial x} \right]\]

이를 통해 \(E_{z,0}\), \(B_{z,0}\)에 대한 식을 얻을 수 있다. 다음과 같다.

\[\left[ \frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2} + \left( \frac{\omega}{c} \right)^2 - k^2 \right]E_{z,0} = 0\] \[\left[ \frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2} + \left( \frac{\omega}{c} \right)^2 - k^2 \right]B_{z,0} = 0\]

[!NOTE]- 연립 과정 \((E_{z,0})\)만{title}

\[E_{z,0} = \frac{ic^2}{\omega} \frac{i}{\left( \frac{\omega}{c} \right)^2 - k^2} \left[ \frac{\partial}{\partial x}\left( k \frac{\partial B_{z,0}}{\partial y} + \frac{\omega}{c^2} \frac{\partial E_{z,0}}{\partial x} \right) - \frac{\partial}{\partial y} \left( k \frac{\partial B_{z,0}}{\partial x} - \frac{\omega}{c^2} \frac{\partial E_{z,0}}{\partial y} \right) \right]\] \[= -\frac{c^2}{\omega} \frac{1}{\left( \frac{\omega}{c} \right)^2 - k^2 } \frac{\omega}{c^2} \left[ \frac{\partial^2E_{z,0}}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 E_{z,0}}{\partial y^2}\right]\] \[\implies E_{z,0} + \frac{1}{\left( \frac{\omega}{c} \right)^2 - k^2}\left( \frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2} \right)E_{z,0} = 0\] \[\implies \left[ \frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2} + \left( \frac{\omega}{c} \right)^2 - k^2 \right]E_{z,0} = 0\]

따라서, 해를 구하는 방법은 다음과 같다.

1. z성분의 전기장, 자기장을 찾는다.
2. 대입하여 나머지 성분을 찾는다.

Solution Type은 다음과 같다.

1. TE mode, \(E_{z,0} = 0\)
2. TM mode, \(B_{z,0} = 0\)
3. TEM mode, \(E_{z,0} = B_{z,0} = 0\)

일반적인 해는 위 세 모드의 합성과 같다.

[!tip] 속이 빈 도파관에선 TEM mode의 해가 생기지 않는다. {title} 전기장 자기장의 z성분이 0이면, 대입하면 나머지 성분도 0이기 때문이다.

네모꼴 도파관에서의 TE mode의 해는 무엇인가?

\(E_{z,0}=0\)이므로, \(B_{z,0}\)을 구해보자. 변수 분리법을 시도해보자.

\[B_{z,0}=X(x)Y(y)\] \[\left[ \frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2} + \left( \frac{\omega}{c} \right)^2 - k^2 \right]XY = 0\] \[\implies X''Y + XY'' + \left( \left( \frac{\omega}{c} \right)^2 - k^2 \right)XY = 0\] \[\implies \frac{X''}{X} + \frac{Y''}{Y} + \left( \frac{\omega}{c} \right)^2 - k^2 = 0\]

첫번째 항과 두번째 항이 상수항이 되어야 한다.

\[\frac{X''}{X} \equiv - k_{x}^2, ~~ \frac{Y''}{Y} \equiv - k_{y}^2\]

\(X(x)\)의 해는 다음과 같다.

\[X''(x) = - k_{x}^2X(x) \implies X(x) = A\sin(k_{x}x) + B\cos(k_{x}x)\]

\(x=0\), \(x=a\)일 때 자기장의 경계에 대한 수직 성분은 0이어야 한다. 자기장의 경계에 대한 수직 성분은 \(B_{x}\)와 같고, \(B_{x}\)가 0이 되려면, \(\frac{\partial B_{z}}{\partial x}\)가 0이 되어야 한다.

\[B_{x,0} = \frac{i}{\left( \frac{\omega}{c} \right)^2 - k^2} \left[ k \frac{\partial B_{z,0}}{\partial x}\right]\]

따라서, \(\frac{\partial B_{z}}{\partial x} = X'Y = 0\) 이어야 하므로, \(X'(0)=X'(a)=0\)을 만족해야 한다.

\[X'(x) = Ak_{x}\cos(k_{x}x) - Bk_{x}\sin(k_{x}x)\] \[X'(0) = Ak_{x} = 0 \implies A = 0\] \[X'(a) = -Bk_{x}\sin (k_{x}a) = 0 \implies k_{x}a = m\pi\]

따라서 다음과 같다.

\[X(x) = B\cos\left( \frac{m\pi}{a}x \right), ~~m = 0, 1, 2, \dots\]

\(Y(y)\)는 다음과 같다.

\[Y(y) = A'\sin(k_{y}y) + B'\cos(k_{y}y)\]

똑같이 경계조건으로 인해, \(Y'(0)=Y'(b)=0\)을 만족해야 한다.

\[Y'(y) = A' k_{y} \cos(k_{y}y) - B'k_{y}\sin(k_{y}y)\] \[Y'(0)=A'k_{y} = 0 \implies A' = 0\] \[Y'(b) = -Bk_{y}\sin(k_{y}b) = 0 \implies k_{y}b = n\pi\]

따라서 다음과 같다.

\[Y(y) = B'\cos\left( \frac{n\pi}{b}y \right), ~~n = 0, 1, 2, \dots\]

따라서 \(B_{z,0}\) 해는 다음과 같다.

\[B_{z,0}(x,y) = B_{0}\cos\left( \frac{m\pi}{a}x \right)\cos\left( \frac{n\pi}{b} y\right), ~~~m, n = 0, 1, 2, \dots\]

위 해를 \(TE_{mn}\) 모드라고 한다. 이 해와 \(E_{z,0}=0\)을 \(E_{x,0}, E_{y,0}, B_{x,0}, B_{y,0}\)에 대입하면 Solution을 찾을 수 있다.

아래 첨자는 길이가 긴쪽을 먼저 쓰는 관례가 있며, 아래첨자가 둘다 0이면 안된다.

[!question] 왜 \(TE_{00}\) 모드는 네모꼴 도파관에서 생길 수 없는가?{title} \(n=m=0\)이면, \(B_{z,0}(x,y) = B_{0}\)이므로 공간에 대해서는 상수와 같다. 그러나 아직 시간 항 \(e^{-i\omega t}\)에 대해서는 상수가 아니다.

적분꼴 패러데이 법칙을 생각해보자.

\[\oint \vec{E} \cdot d\vec{l} = - \frac{\partial}{\partial t} \int \vec{B} \cdot d \vec{a}\] \[\implies E_{1}^\parallel - E_{2}^\parallel = - \frac{\partial}{\partial t} \int B_{z} da\]

가우스 곡선을 경계를 포함하고, 높이가 0에 가깝게 잡는다. 도체 내부의 전기장은 0이고, 전기장의 평행 성분은 항상 연속이다. 따라서 좌변은 0이다.

\[\frac{\partial}{\partial t} \int B_{z} dz = 0\]

시간에 대해 미분하는 것은, \(-i\omega\)를 곱하는 것과 동치다.

\[- i \omega \int B_{z} dz = 0 \implies B_{z} = 0\]

따라서, \(E_{z} = B_{z} = 0\)인 TEM 모드와 같다. 따라서 \(TE_{00}\) 모드는 네모꼴 도파관에서 존재할 수 없다.

TE mode의 파수는 무엇인가?

\[- k_{x}^2 - k_{y}^2 + \left( \frac{\omega}{c} \right)^2 - k^2 = 0\] \[\implies k = \sqrt{ \left( \frac{\omega}{c} \right)^2 - k_{x}^2 - k_{y}^2 }\] \[= \sqrt{ \left( \frac{\omega}{c} \right)^2 - \pi^2\left( \frac{m^2}{a^2} + \frac{n^2}{b^2} \right) }\]

만약, 전자기파의 \(\omega\)가 다음 조건

\[\omega < c\pi \sqrt{ \left( \frac{m^2}{a^2} + \frac{n^2}{b^2} \right) } \equiv \omega_{mn}\]

을 만족하면 파수는 허수가 된다. 파수가 허수면, 지수함수꼴로 계속 감쇠되므로 나아가지 못한다. \(\omega_{mn}\)을 \(TE_{mn}\) mode의 차단 진동수(cutoff frequency)라고 한다.

\[\omega_{10} = \frac{c\pi}{a}\]

가 가장 낮은 차단 진동수이며, 진동수가 이보다 낮으면 전자기파가 앞으로 나아가지 못한다. 파수를 차단 진동수를 사용하여 간단히 나타낼 수 있다.

\[k = \frac{1}{c}\sqrt{ \omega^2 - \omega_{mn}^2 }\]

TE mode의 위상 속도와 군 속도는?

\[v_{p} = \frac{\omega}{k} = \frac{cw}{\sqrt{ \omega^2 - \omega_{mn}^2 }} = \frac{c}{\sqrt{ 1 - \left( \frac{\omega_{mn}}{\omega} \right)^2 }}\]

\(\omega > \omega_{mn}\)이므로, \(v_{p}\)가 \(c\)보다 더 크다. 그러나 이는 문제되지 않는다.

\[v_{g} = \frac{d\omega}{dk} = \frac{1}{\frac{dk}{d\omega}} = \frac{1}{\frac{1}{c} \frac{1}{2} \frac{2\omega}{\sqrt{ \omega^2 - \omega_{mn}^2 }}} = c \sqrt{ 1- \left( \frac{\omega_{mn}}{\omega} \right)^2 } < c\]

\(\left( \frac{\omega_{mn}}{\omega} \right)^2\)는 항상 양수값이기 때문에, \(1-\left( \frac{\omega_{mn}}{\omega} \right)^2\)는 항상 1보다 작다. 따라서 군속도는 항상 빛보다 작다.

네모꼴 도파관에서의 TM mode의 해는 무엇인가?

\(B_{z,0}=0\)이며, \(E_{z,0}(x,y)\)을 구하기 위해 변수분리법을 시도한다.

\[E_{z,0}=X(x)Y(y)\] \[\left[ \frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2} + \left( \frac{\omega}{c} \right)^2 - k^2 \right]XY = 0\] \[\implies X''Y + XY'' + \left[ \left( \frac{\omega}{c} \right)^2-k^2 \right]XY = 0\] \[\implies \frac{X''}{X} + \frac{Y''}{Y} + \left( \frac{\omega}{c} \right)^2 - k^2 = 0\]

첫번째 항과 두번째 항이 상수항이 되어야 한다.

\[\frac{X''}{X} \equiv - k_{x}^2, ~~ \frac{Y''}{Y} \equiv - k_{y}^2\]

\(X(x)\)의 해는 다음과 같다.

\[X''(x) = - k_{x}^2X(x) \implies X(x) = A\sin(k_{x}x) + B\cos(k_{x}x)\]

전기장의 경계면에 대한 평행 성분은 \(x=0\), \(x=a\)일 때 0이다. 경계면에 대한 평행 성분은 \(E_{z}\) 성분이다. 따라서 다음과 같다.

\[E_{z,0}(0, y) = X(0)Y(y) = 0 \implies X(0) = 0\] \[E_{z,0}(a,y) = X(a)Y(y) = 0 \implies X(a) = 0\]

따라서 다음과 같다.

\[X(0) = B = 0\] \[X(a) = A\sin (k_{x}a) = 0 \implies k_{x}a = m\pi, ~~m = 0, 1, 2, \dots\]

\(Y(y)\)는 다음과 같다.

\[Y(y) = A'\sin(k_{y}y) + B'\cos(k_{y}y)\]

똑같이 경계조건으로 인해, \(Y(0)=Y(b)=0\)을 만족해야 한다.

\[Y(0)=B' = 0\] \[Y(b) = A'\sin(k_{y}b) = 0 \implies k_{y}b = n\pi, ~~n = 0, 1, 2, \dots\]

따라서 \(E_{z,0}\)의 해는 다음과 같다.

\[E_{z,0} = E_{0}\sin\left( \frac{m\pi}{a}x \right) \sin\left( \frac{n\pi}{b} y\right), ~~~m,n = 0, 1, 2, \dots\]

\(E_{x,0}\)은 다음과 같다.

\[E_{x,0} = \frac{i}{\left( \frac{\omega}{c} \right)^2 - k^2}\left[ k \frac{\partial E_{z,0}}{\partial x} + \omega\frac{\partial B_{z,0}}{\partial y} \right]\] \[= \frac{i}{\left( \frac{\omega}{c} \right)^2 - k^2} \left[ k \frac{\partial}{\partial x} \left( E_{0}\sin\left( \frac{m\pi}{a}x \right) \sin\left( \frac{n\pi}{b} y\right) \right) \right]\] \[= \frac{ik}{\left( \frac{\omega}{c} \right)^2 - k^2}\left[ E_{0} \frac{m\pi}{a} \cos\left( \frac{m\pi}{a}x \right)\sin\left( \frac{n\pi}{b}y \right) \right]\] \[= \frac{ikm\pi E_{0}}{a\left[ \left( \frac{\omega}{c} \right)^2 - k^2 \right]} \cos\left( \frac{m\pi}{a}x \right)\sin\left( \frac{n\pi}{b}y \right)\]

\(E_{y,0}\)은 다음과 같다.

\[E_{y,0} = \frac{i}{\left( \frac{\omega}{c} \right)^2 - k^2}\left[ k \frac{\partial E_{z,0}}{\partial y} - \omega\frac{\partial B_{z,0}}{\partial x} \right]\] \[= \frac{i}{\left( \frac{\omega}{c} \right)^2 - k^2} \left[ k \frac{\partial}{\partial y} \left( E_{0}\sin\left( \frac{m\pi}{a}x \right) \sin\left( \frac{n\pi}{b} y\right) \right) \right]\] \[= \frac{ik}{\left( \frac{\omega}{c} \right)^2 - k^2}\left[ E_{0} \frac{n\pi}{b} \sin\left( \frac{m\pi}{a}x \right) \cos\left( \frac{n\pi}{b}y \right) \right]\] \[= \frac{ikn\pi E_{0}}{b\left[ \left( \frac{\omega}{c} \right)^2 - k^2 \right]} \sin\left( \frac{m\pi}{a}x \right) \cos\left( \frac{n\pi}{b}y \right)\]

\(B_{x,0}\)은 다음과 같다.

\[B_{x,0} = \frac{i}{\left( \frac{\omega}{c} \right)^2 - k^2} \left[ k \frac{\partial B_{z,0}}{\partial x} - \frac{\omega}{c^2} \frac{\partial E_{z,0}}{\partial y}\right]\] \[= \frac{i}{\left( \frac{\omega}{c} \right)^2 - k^2} \left[ - \frac{\omega}{c^2} \frac{\partial}{\partial y} \left( E_{0}\sin\left( \frac{m\pi}{a}x \right)\sin\left( \frac{n\pi}{b} y\right) \right) \right]\] \[= - \frac{i\omega}{c^2\left[ \left( \frac{\omega}{c} \right)^2 - k^2 \right]} \left[ E_{0} \frac{n\pi}{b} \sin\left( \frac{m\pi}{a}x \right) \cos\left( \frac{n\pi}{b}y \right) \right]\] \[= - \frac{i\omega n\pi E_{0}}{c^2b \left[ \left( \frac{\omega}{c} \right)^2 - k^2 \right]}\sin\left( \frac{m\pi}{a}x \right) \cos\left( \frac{n\pi}{b}y \right)\]

\(B_{y,0}\)은 다음과 같다.

\[B_{y,0} = \frac{i}{\left( \frac{\omega}{c} \right)^2 - k^2} \left[ k \frac{\partial B_{z,0}}{\partial y} + \frac{\omega}{c^2} \frac{\partial E_{z,0}}{\partial x} \right]\] \[= \frac{i}{\left( \frac{\omega}{c} \right)^2 - k^2} \left[ \frac{\omega}{c^2} \frac{\partial}{\partial x} \left( E_{0}\sin\left( \frac{m\pi}{a}x \right)\sin\left( \frac{n\pi}{b} y\right) \right) \right]\] \[= \frac{i\omega}{c^2 \left[ \left(\frac{\omega}{c} \right)^2 - k^2 \right] } \left[ E_{0} \frac{m\pi}{a} \cos\left( \frac{m\pi}{a}x \right) \sin\left( \frac{n\pi}{b}y \right) \right]\] \[= \frac{i\omega m\pi E_{0}}{c^2a\left[ \left(\frac{\omega}{c} \right)^2 - k^2 \right]} \cos\left( \frac{m\pi}{a}x \right) \sin\left( \frac{n\pi}{b}y \right)\]

결론은 다음과 같다.

\[\therefore~ \vec{E}_{0}= \begin{cases} E_{z,0} = E_{0}\sin\left( \frac{m\pi}{a}x \right) \sin\left( \frac{n\pi}{b} y\right)\\ E_{x,0} = \frac{ikm\pi E_{0}}{a\left[ \left( \frac{\omega}{c} \right)^2 - k^2 \right]} \cos\left( \frac{m\pi}{a}x \right)\sin\left( \frac{n\pi}{b}y \right) \\ E_{y,0}= \frac{ikn\pi E_{0}}{b\left[ \left( \frac{\omega}{c} \right)^2 - k^2 \right]} \sin\left( \frac{m\pi}{a}x \right) \cos\left( \frac{n\pi}{b}y \right)\end{cases}\] \[\therefore ~ \vec{B}_{0} = \begin{cases} B_{z,0} = 0 \\ B_{x,0} = - \frac{i\omega n\pi E_{0}}{c^2b \left[ \left( \frac{\omega}{c} \right)^2 - k^2 \right]}\sin\left( \frac{m\pi}{a}x \right) \cos\left( \frac{n\pi}{b}y \right) \\ B_{y,0} = \frac{i\omega m\pi E_{0}}{c^2a\left[ \left(\frac{\omega}{c} \right)^2 - k^2 \right]} \cos\left( \frac{m\pi}{a}x \right) \sin\left( \frac{n\pi}{b}y \right) \end{cases}\]

횡파와 종파가 무엇인가?

위아래로 출렁거리는 것이 횡파, 앞뒤로 빽빽해지는 것이 종파다. 소리는 종파로 전달된다. 전자기파는 횡파다.