기초전자기학 27. 일반적인 유전체에 전자기파를 입사하면 어떻게 될까

일반적인 유전체에 전자기파를 입사하면 어떻게 될까?

일반적으로 유전체는 분산매질일 수도 있고, 아닐 수도 있다. 분산매질이 아니라면 굴절율은 다음과 같다.

\[n = \sqrt{ \frac{\epsilon \mu}{\epsilon_{0} \mu_{0}} } = \frac{c}{v}\]

분산매질이라면 굴절율은 더이상 상수가 아닌, 진동수의 함수와 같다.

\[n(w)\]

유전체 내의 전자는 전자기파를 받으면 전기장의 모양에 따라 위 아래로 구동된다. 이를 Spring-damp 모형으로 모델링해서 이해해보자.

Spring-damp 모형에서 입자는 감쇠력, 복원력과 구동력을 받는다. 이때 구동력은 단색 평면파 전기장의 실수항으로 가정한다. 전자기파는 \(x\)축 방향으로 편광되어 있다고 가정한다.

\[F_{d} = q E_{0} \cos(\omega t)\]

운동방정식은 다음과 같다.

\[m \frac{d^2x}{dt^2} = - m \frac{\gamma dx}{dt} - m\omega_{0}^2x + qE_{0}\cos(\omega t)\]

\(x\)를 Complex라고 가정하면, \(\cos(\omega t)\)를 \(e^{-i\omega t}\)로 표현 가능하다. 이 표현에서 시간 미분은 단지 \(-i\omega\)를 곱하는 것과 같다.

\[\frac{d^2\tilde{x}}{dt^2} + \gamma \frac{d\tilde{x}}{dt} + \omega_{0}^2 \tilde{x} = \frac{qE_{0}}{m} e^{-i\omega t}\]

시간이 충분히 흐른 뒤, 입자는 구동력과 같은 진동수로 진동한다.

\[\tilde{x}(t) = \tilde{x}_{0}e^{-i \omega t}\]

이를 미분방정식에 대입하면 다음 관계를 얻는다.

\[[-\omega^2 + - i\gamma \omega + \omega_{0}^2]\tilde{x}_{0} = \frac{qE_{0}}{m}\] \[\implies \tilde{x}_{0} = \frac{qE_{0} / m}{\omega_{0}^2-\omega^2 + - i\gamma \omega }\]

이후 한개의 입자의 움직임을 물질 전체로 확장하자. 평형점을 기준으로 진동하는 단일 입자는 전기 쌍극자모멘트를 만든다.

\[\tilde{p}(t) = q\tilde{x}(t) = \frac{q^2E_{0} / m}{\omega_{0}^2 - \omega^2 - i\gamma \omega} e^{i \omega t}\]

그 이유는 무엇인가? 실제 물리적으론 전자기파의 전기장에 의해 전자가 위아래로 진동한다. 다르게 말하면, 평형점에 (+) 전하가 있고 그 전하에 의해 전자가 위아래로 진동하는 것과 같은 상황으로 해석할 수 있다. 따라서 쌍극자 모멘트가 만들어지며, 쌍극자 모멘트의 \(d\)는 평형점과 전자 사이의 거리인 \(\tilde{x}(t)\)와 같다.

편극 밀도(Polarization)는 단위 부피당 쌍극자 모멘트의 총 합과과 같다.

\[\displaystyle \vec{P}(\vec{r}) = \frac{d \vec{p}}{d^3\vec{r}}\]

\(N\)을 단위 부피당 분자수라고 하면, 쌍극자 모멘트의 평균을 계산 후 \(N\)을 곱하면 그 또한 단위 부피당 총 쌍극자 모멘트의 총 합과 같다.

\[\tilde{\vec{P}} = N \langle \vec{p} \rangle\]

한 분자 속에서도 전자가 있는 곳에 따라 고유 진동수와 감쇠상수가 다르다. 분자 \(j\) 마다 고유 진동수가 \(\omega_{j}\)이고, 감쇠상수가 \(\gamma_{j}\)이고, 전자가 \(f_{j}\)개 있다고 하면 다음과 같다.

\[N\langle\vec{p}\rangle= \frac{Nq^2}{m} \left( \sum_{j} \frac{f_{j}}{\omega_{j}^2 - \omega^2 - i\gamma_{j}\omega} \right) E_{0}e^{-i\omega t}\]

엄밀하게 \(\vec{P}\)와 \(\vec{E}\)는 비례하지 않으나, 복소 \(\tilde{\vec{P}}\)와 \(\tilde{\vec{E}}\)는 비례한다.

\[\tilde{\vec{P}} = \epsilon_{0} \tilde{X}_{e} \tilde{\vec{E}}\]

대체 전기장 \(\tilde{\vec{D}}\)는 다음 관계에 있었다.

\[\tilde{\vec{D}} = \epsilon_{0} \tilde{\vec{E}} + \tilde{\vec{P}} = \epsilon_{0}(1+\tilde{X}_{e}) \tilde{\vec{E}} = \tilde{\epsilon}\tilde{\vec{E}}\]

복소 유전상수는 다음과 같다.

\[\tilde{\epsilon_{r}}(\omega) = \frac{\tilde{\epsilon}(\omega)}{\epsilon_{0}} = 1 + \frac{Nq^2}{m \epsilon_{0}} \sum_{j} \frac{f_{j}}{\omega_{j}^2 - \omega^2 - i\gamma_{j}\omega}\]

복소 파수 관계식은 다음과 같다.

\[\tilde{k}(\omega) = \frac{\omega}{\tilde{v}} = \sqrt{ \tilde{\epsilon}(\omega) \mu } \omega\]

복소 파수를 근사하여 다음과 같이 쓸 수 있다.

\[\tilde{k}(\omega) = \sqrt{ \tilde{\epsilon}(\omega)\mu } \omega \simeq \sqrt{ \tilde{\epsilon}(\omega) \mu_{0} } \omega = \sqrt{ \frac{\tilde{\epsilon}}{\epsilon_{0}} \epsilon_{0}\mu_{0} } \omega\] \[= \frac{\omega}{c} \sqrt{ \tilde{\epsilon}_{r}(\omega) }\] \[= \frac{\omega}{c} \sqrt{ 1 + \frac{Nq^2}{m \epsilon_{0}} \sum_{j} \frac{f_{j}}{\omega_{j}^2 - \omega^2 - i\gamma_{j}\omega} }\]

다음을 생각해보자.

\[\sqrt{ 1+x } = 1 + \frac{1}{2}x - \frac{1}{8}x^2 + \dots\]

만약, \(x\)가 작으면 \(\sqrt{ 1+x } \simeq 1 + \frac{1}{2}x\) 정도로 근사할 수 있다. 기체의 경우 단위 부피당 분자 수가 액체, 고체에 비에 아주 작다. 따라서, 근사를 사용한다.

\[\tilde{k}(\omega) \simeq \frac{\omega}{c} \left( 1 + \frac{Nq^2}{2m \epsilon_{0}} \sum_{j} \frac{f_{j}}{\omega_{j}^2 - \omega^2 - i\gamma_{j}\omega} \right)\] \[= \frac{\omega}{c} \left( 1 + \frac{Nq^2}{2m\epsilon_{0}}\sum_{j} \frac{f_{j} (\omega_{j}^2 - \omega^2 + i \gamma_{j} \omega)}{(\omega_{j}^2 - \omega^2 - i \gamma_{j} \omega)(\omega_{j}^2 - \omega^2 + i \gamma_{j} \omega)} \right)\] \[= \frac{\omega}{c} \left( 1 + \frac{Nq^2}{2m\epsilon_{0}} \sum_{j} \frac{f_{j}(\omega_{j}^2 - \omega^2 + i \gamma_{r}\omega)}{(\omega_{j}^2 - \omega^2)^2 + \gamma_{j}^2 \omega^2} \right)\]

파수가 복소수 \(\tilde{k} = k + i \kappa\)일 때 전자기파의 해는 다음과 같았다.

\[\tilde{\vec{E}}(z,t) = \tilde{\vec{E}}_{0}e^{-\kappa z} e^{i(kz - \omega t)}\]

실수 파트는 파수와 같고, 허수 파트는 흡수율과 같다. 전자기파의 세기는 \(I \propto E^2 \propto e^{-2\kappa z}\)와 비례하므로, 흡수 계수를 다음과 같이 정의한다.

\[\alpha \equiv 2\kappa\]

파수의 허수 파트는 다음과 같다.

\[\kappa \simeq \frac{Nq^2\omega^2}{2m\epsilon_{0}c} \sum_{j} \frac{f_{j}\gamma_{r}}{(\omega_{j}^2 - \omega^2)^2 - \gamma_{j}^2\omega^2}\]

따라서 기체에서 흡수 계수는 다음과 같다.

\[\alpha= 2\kappa \simeq \frac{Nq^2\omega^2}{m\epsilon_{0}c} \sum_{j} \frac{f_{j}\gamma_{r}}{(\omega_{j}^2 - \omega^2)^2 - \gamma_{j}^2\omega^2}\]

실수 파수는 다음과 같다.

\[k(\omega) \simeq \frac{\omega}{c} \left( 1 + \frac{Nq^2}{2m\epsilon_{0}} \sum_{j} \frac{f_{j}(\omega_{j}^2 - \omega^2)}{(\omega_{j}^2 - \omega^2)^2 + \gamma_{j}^2 \omega^2} \right)\]

굴절율은

\[\omega = v k= \frac{c}{n} k \implies n = \frac{c}{\omega}k\]

이므로, 기체의 굴절율은 다음과 같다.

\[n(\omega) \simeq 1 + \frac{Nq^2}{2m\epsilon_{0}} \sum_{j} \frac{f_{j}(\omega_{j}^2 - \omega^2)}{(\omega_{j}^2 - \omega^2)^2 + \gamma_{j}^2 \omega^2}\]

위 그림은 굴절율과 흡수 계수 함수를 공명 진동수 \(\omega_{j}\) 근처에서 나타낸 것이다. 공명 진동수 근처에선 흡수가 잘된다. 이 진동수 영역에선 물질이 불투명해진다. 그 이유는 무엇인가? 고유 진동수와 비슷한 전자기파를 입사하면, 전자가 잘 진동하게 된다. 그 진동하는 에너지만큼 흡수되기 때문이다. \(\omega_{1} < \omega < \omega_{2}\)가 최대 흡수 영역이다. 이를 비정상 분산(anomalous dispersion)라고 한다.

위 그림을 보면 굴절율이 1보다 작아지는 구간이 존재한다. 굴절율이 1보다 작이지면?

\[v = \frac{c}{n}\]

빛의 위상 속도가 \(c\)보다 커진다. 이는 상대성 이론 위반 아닌가? 그렇지 않다. 에너지는 군속도로 전달되며, 군속도는 항상 \(c\)보다 작다.

빨간색 사과가 빨간색으로 보이는 이유는, 빨간 색소 분자의 공명 진동수가 파란색과 초록색 계열이기 때문이다. 분자는 파란색과 초록색 계열의 빛을 강하게 흡수하며, 빨간색 계열의 빛은 흡수하지 않는다. 흡수되지 않는 빛은 반사되거나 산란되어 우리 눈에 들어와 사과가 빨간색으로 보이는 이유다.