기초전자기학 25. 도체 표면에 전자기파가 부딪히면 어떻게 될까

도체 표면에 전자기파가 부딪히면?

이런 상황은 대부분 공기에서 도체인 두 매질 간의 Boundry Condition을 사용해야 한다. \(\rho_{f}=0\), \(\sigma_{f} \neq 0\), \(\vec{J}_{f} \neq 0\)일 때 Boundry Condition은 다음과 같다.

\[\nabla \cdot \vec{D} = 0 \implies D^{\bot}_{1} = D^{\bot}_{2} \implies \epsilon_{1}E^{\bot}_{1} = \epsilon_{2}E^{\bot}_{2}\] \[\nabla \cdot \vec{B} = 0 \implies B^{\bot}_{1} = B^{\bot}_{2}\] \[\nabla \times \vec{E} = 0 \implies \vec{E}^\parallel_{1} = \vec{E}^\parallel_{2}\] \[\nabla \times \vec{B} = \mu \vec{J}_{f} + \mu\epsilon \frac{\partial \vec{E}}{\partial t} \implies \vec{H}^\parallel_{2} - \vec{H}^\parallel_{1} = \vec{K}_{f} \times\hat{n}\]

옴 법칙 \(\vec{J}_{f} = \sigma \vec{E}\)를 따르는 전도도가 유한한 도체에서는 표면 전류 밀도가 없다.

[!question] 전도도가 유한한 선형 도체의 표면 전류 밀도가 없는 이유는 무엇인가?{title} \(\delta\)를 표면의 두께라고 하면, \(\vec{J}_{f}\)와 \(\vec{K}_{f}\)는 다음 관계에 있다.

\[\lim_{ \delta \to 0 } \vec{J}_{f} \delta = \vec{K}_{f}\]

\(\vec{K}_{f}\)가 유한한 값을 가지기 위해선, \(\vec{J}_{f}\)가 무한한 값을 가져야 한다. 옴 법칙 \(\vec{J}_{f} = \sigma \vec{E}\)을 따르는 도체라면, \(\sigma\to \infty\)거나 \(\vec{E}\to \infty\)어야 \(\vec{J}_{f} \to \infty\)를 만족한다.

따라서, 전도도가 유한하다면 표면에 한없이 센 전기장이 걸려야 \(\vec{J}_{f} \to \infty\) 조건을 만족하여 유한한 \(\vec{K}_{f}\)가 만들어 질 수 있다.

만약 전도도가 무한하다면 어떻게 되는가? 먼저 전도도가 유한한 도체부터 생각해보자. 도체에 전자기파가 침투하면, 침투 깊이까지 퍼진 부피전류는 있다. 전도도가 커질 수록 침투 깊이가 얇아지며, 완전 도체에서는 참된 표면 전류가 된다.

[!NOTE] 또는 이렇게 생각해볼 수 있을 것 같다.{title}

\[\nabla \times \vec{H}= \mu \sigma \vec{E} + \mu\epsilon \frac{\partial \vec{E}}{\partial t}\] \[\implies \int_{S} (\nabla \times \vec{H})\cdot d\vec{a} = \int_{S} \left( \mu \sigma \vec{E} + \mu\epsilon \frac{\partial \vec{E}}{\partial t} \right) \cdot d\vec{a}\] \[\implies \oint_{C} \vec{H} \cdot d\vec{l} = \mu \sigma \int_{S} \vec{E} \cdot d\vec{a} + \mu\epsilon \frac{\partial}{\partial t} \int_{S}\vec{E} \cdot d\vec{a}\]

면적 S의 높이는 0에 가까우므로, 그 면적을 통과하는 전기장 또한 0으로 근사 가능하다.

\[\implies \oint_{C} \vec{H} \cdot d\vec{l} = 0\]

따라서, 전도도가 유한한 옴법칙을 만족하는 도체의 자기장 평행성분 바운더리 컨디션은

\[\oint_{C} \vec{H} \cdot d\vec{l} = 0\]

와 같다. 그러나, 원래는

\[\oint_{C} \vec{H} \cdot d\vec{l} = \vec{K}_{f}\]

이므로 \(\vec{K}_{f} = 0\) 임을 알 수 있다. 만약 전도도가 무한한 완전도체라면?

\[\mu \sigma \int_{S} \vec{E} \cdot d\vec{a}\]

이 항이 무한대 x 0꼴이므로, 표면 전류가 존재할 수 있다.

따라서 다음과 같다.

\[\vec{H}^\parallel_{2} = \vec{H}^\parallel_{1} \implies \frac{1}{\mu_{1}}\vec{B}^\parallel_{1} = \frac{1}{\mu_{2}}\vec{B}^\parallel_{2}\]

전기장과 자기장이 도체 표면과 수직으로 입사된다고 가정하자. 그 경우, 도체 표면의 수직 성분인 전기장과 자기장은 0이므로, 첫번째와 두번째 바운더리 컨디션은 의미 없다.

\[E_{\bot} = B_{\bot} = 0\]

세번째 바운더리 컨디션은 다음과 같다.

\[\vec{E}^\parallel_{1} = \vec{E}^\parallel_{2} \implies (\tilde{\vec{E}}_{I} + \tilde{\vec{E}}_{R})_{x,y} = (\tilde{\vec{E}}_{T})_{x,y}\] \[\implies \tilde{E}_{I,0} + \tilde{E}_{R,0} = \tilde{E}_{T,0}\]

네번째 바운더리 컨디션은 다음과 같다.

\[\frac{1}{\mu_{1}}\vec{B}^\parallel_{1} = \frac{1}{\mu_{2}}\vec{B}^\parallel_{2} \implies \frac{1}{\mu_{1}}(\tilde{\vec{B}}_{I,0} + \tilde{\vec{B}}_{R,0})_{x,y} = \frac{1}{\mu_{2}}(\tilde{\vec{B}}_{T,0})_{x,y}\] \[\implies \frac{1}{\mu_{1}v_{1}}(\hat{z} \times \tilde{\vec{E}}_{I,0} + (-\hat{z}) \times \tilde{\vec{E}}_{R,0})_{x,y} = \frac{1}{\mu_{2}}\left( \frac{\tilde{k}_{2}}{\omega} \hat{z} \times \tilde{\vec{E}}_{T,0} \right)_{x,y}\] \[\implies \frac{1}{\mu_{1}v_{1}}(\tilde{E}_{I,0} - \tilde{E}_{R,0}) = \frac{\tilde{k}_{2}}{\mu_{2}\omega}\tilde{E}_{T,0}\] \[\implies \tilde{E}_{I,0} - \tilde{E}_{R,0} = \frac{\mu_{1}v_{1}}{\mu_{2}\omega} \tilde{k}_{2} \tilde{E}_{T,0} = \tilde{\beta} \tilde{E}_{T,0}\]

두 식을 연립한다.

\[2\tilde{E}_{I,0} = (1+\tilde{\beta})\tilde{E}_{T,0} \implies \tilde{E}_{T,0} = \left( \frac{2}{1+\tilde{\beta}} \right)\tilde{E}_{I,0}\] \[\tilde{E}_{I,0} + \tilde{E}_{R,0} = \left( \frac{2}{1+\tilde{\beta}} \right)\tilde{E}_{I,0} \implies \tilde{E}_{R,0} = \left( \frac{1-\tilde{\beta}}{1+\tilde{\beta}} \right) \tilde{E}_{I,0}\]

만약 완전도체 \(\sigma\to \infty\)면, \(\tilde{k}_{2} \to \infty\)이고, \(\tilde{\beta}\to \infty\)이므로 투과파의 진폭이 0이다. 따라서 완전도체는 모든 빛을 반사시키며, 좋은 도체, 금속일 수록 빛나는 이유가 이 때문이다.