기초전자기학 21. 빛이 왜 전자기파일까

빛이 왜 전자기파인가?

그리고, 파동은 매질이 있어야 전달될 수 있는데 어떻게 진공에서 빛이 전달될 수 있는가? 맥스웰 방정식에 그 해답이 숨어있다. 진공에서의 맥스웰 방정식은 다음과 같다.

\[\nabla \cdot \vec{E} = 0, ~~\nabla \cdot \vec{B} = 0, ~~\nabla \times \vec{E} = - \frac{\partial \vec{B}}{\partial t}, ~~\nabla \times \vec{B} = \mu_{0}\epsilon_{0} \frac{\partial \vec{E}}{\partial t}\]

Consider.

\[(\nabla \times (\nabla \times \vec{E}))_{i} = \sum_{j,k} \epsilon_{ijk} \partial_{j} (\nabla \times \vec{E})_{k}\] \[= \sum_{j,k} \epsilon_{ijk}\partial_{j} \sum_{l,m}\epsilon_{klm}\partial_{l}E_{m} = \sum_{j,k,l,m} \epsilon_{kij}\epsilon_{klm} \partial_{j} \partial_{l} E_{m}\] \[=\sum_{j,k,l,m} (\delta_{il}\delta_{jm} - \delta_{im} \delta_{jl}) \partial_{j}\partial_{l}E_{m} = \sum_{j} (\partial_{j} \partial_{i} E_{j} - \partial_{j} \partial_{j} E_{i})\] \[= \sum_{j}(\partial_{i}\partial_{j}E_{j} - \partial_{j}\partial_{j}E_{i}) = \partial_{i} (\nabla \cdot \vec{E}) - \nabla^2 E_{i}\] \[\implies \nabla \times (\nabla \times \vec{E}) = \nabla(\nabla \cdot \vec{E}) - \nabla^2\vec{E}\]

맥스웰 방정식을 대입한다.

\[\nabla \times \left( - \frac{\partial \vec{B}}{\partial t} \right) = \nabla(0) - \nabla^2\vec{E}\] \[\implies - \frac{\partial}{\partial t} (\nabla \times \vec{B}) = - \nabla^2 \vec{E}\] \[\implies \frac{\partial}{\partial t} \left( \mu_{0}\epsilon_{0} \frac{\partial \vec{E}}{\partial t} \right) = \nabla^2 \vec{E}\] \[\implies \nabla^2\vec{E} = \mu_{0}\epsilon_{0}\frac{\partial^2 \vec{E}}{\partial t^2}\]

이는 3차원 파동 방정식과 같다. 자기장에 대해서도 구해보자.

\[\nabla \times (\nabla \times \vec{B}) = \nabla (\nabla \cdot \vec{B}) - \nabla^2 \vec{B}\] \[\implies \nabla \times \left( \mu_{0}\epsilon_{0} \frac{\partial \vec{E}}{\partial t} \right) = \nabla(0) - \nabla^2\vec{B}\] \[\implies \mu_{0}\epsilon_{0} \frac{\partial}{\partial t} (\nabla \times \vec{E}) = - \nabla^2\vec{B}\] \[\implies \mu_{0}\epsilon_{0} \frac{\partial}{\partial t} \left( -\frac{\partial \vec{B}}{\partial t} \right) = - \nabla^2\vec{B}\] \[\implies \nabla^2\vec{B} = \mu_{0}\epsilon_{0} \frac{\partial^2 \vec{B}}{\partial t^2}\]

자기장도 3차원 파동 방정식을 만족한다. 3차원 파동 방정식에 따르면, 전기장 파동과 자기장 파동의 속도는 같고, 값은 다음과 같다.

\[v=\frac{1}{\sqrt{ \mu_{0}\epsilon_{0} }} \simeq 3.00 \times 10^8 m / s = c\]

이 속도는 빛의 속도와 같다.

따라서 변하는 전기장과 자기장은 전기장이 자기장을 만들고, 자기장이 전기장을 만들며 두 파동이 같은 속도로 이동한다. 이것을 전자기파라고 하면, 전자기파는 진공에서도 퍼져 나갈 수 있음을 보였다. 그리고 그 전자기파는 빛과 같다는 결론을 얻는다.