기초전자기학 16. 전자기학의 에너지 보존 법칙이 무엇인가

전자기학의 에너지 보존 법칙은 무엇인가?

전자기장의 에너지는 보존되지 않는다. 전하의 에너지도 보존되지 않는다. 하지만 (전자기장의 에너지 + 전하의 에너지)는 보존된다. 전자기장과 전하(물질)는 서로 에너지를 주고받으며 상호작용하기 때문이다.

전자기학의 에너지는 크게 세가지로 구분한다. (1) 전자기장 자체가 갖는 에너지, (2) 전자기파로 인해 퍼져나가는 에너지, (3) 전자기장과 전하 사이로 이동하는 에너지 (전자기장이 전하에 해준 일). 이를 각각 계산하여 에너지 연속 방정식을 유도해보자.

(1) 전자기장 자체가 갖는 에너지 어떤 전기장의 전하 분포를 만드는데 필요한 에너지는 다음과 같다.

\[W_{E} = \frac{\epsilon_{0}}{2} \int E^2 d\tau\]

역기전력을 거슬러 전류를 흐르게 하는데 드는 일은 다음과 같다.

\[W_{B} = \frac{1}{2 \mu_{0}} \int B^2 d\tau\]

단위 부피당 전자기장에 저장된 총 에너지 밀도는 다음과 같이 나타낼 수 있다.

\[u = \frac{\epsilon_{0}}{2}E^2 + \frac{1}{2\mu_{0}}B^2\]

(3) 전자기장이 전하에 해준 일 + (2) 전자기파로 인해 퍼져나가는 에너지 전하 \(q\)에 해주는 단위 일은 다음과 같다.

\[dW = \vec{F} \cdot d\vec{l} = q(\vec{E} + \vec{v} \times \vec{B}) \cdot \vec{v} dt\] \[= q\vec{E} \cdot \vec{v} dt + q(\vec{v} \times \vec{B}) \cdot \vec{v} dt\] \[= q \vec{E} \cdot \vec{v} dt + q (\vec{v} \times \vec{v}) \cdot \vec{B} dt\] \[= q \vec{E} \cdot \vec{v} dt\]

이때, \(q= \rho d\tau\)고 \(\rho \vec{v}\)는 \(\vec{J}\)와 같다. 왜? \([J] = \frac{C}{m^2 \cdot t}\), \([\rho] = \frac{C}{m^3}\), \([v] = \frac{m}{t}\), \([\rho v] = \frac{C}{m^3} \cdot \frac{m}{t} = \frac{C}{m^2 \cdot t} = [J]\). 직관적으로, 전하 분포가 얼마나 빨리 움직이는 양이 바로 부피 전류 밀도와 같다. 따라서 다음과 같다.

\[= \vec{E} \cdot \vec{J} d\tau dt\] \[\implies \frac{dW}{dt} = \vec{E} \cdot \vec{J} d\tau\]

부피 \(V\)속에 모든 전하에 해준 일은 다음과 같다.

\[\frac{dW}{dt} = \int_{V} \vec{E} \cdot \vec{J} d\tau\]

단위 시간당 에너지 변화량이 무엇인가? 바로 에너지 전달율, 일률 (Power) 이다. 이제부터 \(\vec{E} \cdot \vec{J}\)는 단위 부피 속의 전하에 단위 시간당 해준 일의 양으로 해석할 수 있다.

앙페르-맥스웰 법칙 \(\nabla \times \vec{B} = \mu_{0}\vec{J} + \mu_{0}\epsilon_{0} \frac{\partial \vec{E}}{\partial t}\)를 사용하여 \(\vec{J}\)를 다르게 써보자.

\[\vec{E} \cdot \vec{J} = \frac{1}{\mu_{0}} \vec{E} \cdot (\nabla \times \vec{B}) - \epsilon_{0} \vec{E} \cdot \frac{\partial \vec{E}}{\partial t}\]

곱셈공식 \(\nabla \cdot (\vec{E} \times \vec{B}) = \vec{B} \cdot (\nabla \times \vec{E}) - \vec{E} \cdot (\nabla \times \vec{B})\)를 사용하면 다음과 같다.

\[= \frac{1}{\mu_{0}}(\vec{B} \cdot (\nabla \times \vec{E}) - \nabla \cdot (\vec{E} \times \vec{B})) - \epsilon_{0} \vec{E} \cdot \frac{\partial \vec{E}}{\partial t}\]

패러데이 법칙 \(\nabla \times \vec{E} = - \frac{\partial \vec{B}}{\partial t}\)를 사용하면 다음과 같다.

\[=-\frac{1}{\mu_{0}} \nabla \cdot (\vec{E} \times \vec{B}) - \left( \frac{1}{\mu_{0}}\vec{B} \cdot \frac{\partial \vec{B}}{\partial t} + \epsilon_{0} \vec{E} \cdot \frac{\partial \vec{E}}{\partial t} \right)\]

\(\frac{\partial}{\partial t} (B^2) = \frac{\partial}{\partial t} (\vec{B} \cdot \vec{B})= 2\vec{B} \cdot \frac{\partial \vec{B}}{\partial t} \implies \vec{B} \cdot \frac{\partial \vec{B}}{\partial t} = \frac{1}{2} \frac{\partial}{\partial t}(B^2)\)임을 이용한다.

\[= - \frac{1}{\mu_{0}} \nabla \cdot (\vec{E} \times \vec{B}) - \frac{\partial}{\partial t}\left( \frac{1}{2\mu_{0}}B^2 + \frac{\epsilon_{0}}{2}E^2 \right)\] \[= - \frac{1}{\mu_{0}} \nabla \cdot (\vec{E} \times \vec{B}) - \frac{\partial u}{\partial t}\]

다음과 같은 물리량을 정의해보자.

\[\vec{S} \equiv \frac{1}{\mu_{0}} \vec{E} \times \vec{B}\]

이를 포인팅 벡터(Poynting vector)라고 부른다. 방정식을 다음과 같이 쓸 수 있다.

\[\vec{E} \cdot \vec{J} + \nabla \cdot \vec{S} + \frac{\partial u}{\partial t} = 0\]

이렇게 에너지 보존 방정식이 유도되었다.

• \(\vec{E} \cdot \vec{J}\) : 단위 부피의 전하에게 단위 시간동안 전자기장이 해준 일.
• \(\nabla \cdot \vec{S}\) : 공간으로 퍼져나가는 전자기장
• \(\frac{\partial u}{\partial t}\) : 전자기장이 갖는 에너지의 변화

포인팅 벡터 \(\vec{S}\)가 \(\vec{J}\)에 대응됨에 주목하라. \(\vec{J}\)는 단위 면적, 단위 시간동안 \(q\)의 변화량과 같다. 따라서 \(\vec{S}\)는 단위 면적, 단위 시간동안 에너지 변화와 같다.

\(\frac{\partial u_{mech}}{\partial t} \equiv \vec{E} \cdot \vec{J}\)로 정의하면, 다음과 같다.

\[\frac{\partial(u_{mech} + u_{em})}{\partial t} + \nabla \cdot \vec{S} = 0\]

이는 전하 보존 방정식 \(\frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla \cdot \vec{J} = 0\)과 완전히 동일하다. 여기서 \(\vec{S}\)를 어떻게 물리적으로 받아들어야 할지 힌트를 얻는다. \(\vec{S}\)는 마치 \(\vec{J}\)와 같이 어떤 흐름을 의미한다. 어떤 흐름인가? 바로 에너지 흐름 밀도 (energy flux density)를 의미한다. 에너지의 흐름이 \(\vec{S}\)이다.

위 방정식은 전자기장의 에너지 + 전하의 에너지가 변하면 들어오거나 나가는 에너지의 흐름 \(\vec{S}\)이 있음을 시사한다.