기초전자기학 15. 전하보존법칙은 어떻게 유도되는가

연속 방정식 (전하보존법칙)은 어떻게 유도되는가?

전하의 시간 변화율은 경계면에서 빠져나가거나 들어온 전류와 같음을 이용한다. 그리고 전류는 \(\vec{J} \cdot d \vec{a}\)와 같다.

부피 V에 들어있는 전하량은 다음과 같다.

\[Q(t) = \int_{V} \rho(t) d\tau\]

경계면 \(S\)를 통해 흘러 들어오거나 빠져나가는 전류는 다음과 같다.

\[\oint_{S} \vec{J} \cdot d \vec{a}\]

따라서 다음 방정식을 설계할 수 있다.

\[\frac{dQ}{dt} + \oint_{S}\vec{J} \cdot d \vec{a} = 0\] \[\implies \frac{d}{dt}\int_{V} \rho(t)d\tau + \int_{V} \nabla \cdot \vec{J} d\tau = 0\] \[\implies \frac{d\rho}{dt} + \nabla \cdot\vec{J} = 0\]