기초전자기학 11. 인덕턴스가 무엇인가
상호 인덕턴스가 무엇인가?
두 고리중 하나의 고리에 전류를 흘리면 그 전류가 자기장을 만든다. 그 자기장의 선속이 도선을 지나면서 선속 규칙 \(\varepsilon = - \frac{\partial \Phi}{\partial t}\)에 따라 기전력을 만든다. 그 기전력에 의해 다른 도선에 전류가 흐른다. 한쪽 도선에 흘린 전류를 통해 다른 도선에 생기는 기전력의 양을 알 수 있을까?
두 도선과 면적을 각각 \(C_{1}, S_{1}\)과 \(C_{2}, S_{2}\)라고 하자. 도선 1에 전류 \(I_{1}\)를 흘릴 때 만들어지는 자기장의 세기는 은 비오 사바르 법칙에 따라 비례한다.
\[B_{1} \propto I_{1}, ~~~~(\vec{B}_{1} = \frac{\mu_{0}}{4\pi} I_{1}\oint_{C_{1}} \frac{d\vec{l}_{1} \times \hat{\eta}}{\eta^2})\]따라서 도선 2를 지나는 선속 또한 전류에 비례한다.
\[\Phi_{2} \propto B_{1} \propto I_{1}, ~~~\left( \Phi_{2} = \int_{S_{2}} \vec{B}_{1} \cdot d\vec{a}_{2} \right)\] \[\Phi_{2} = M_{21} I_{1}\]여기서 비례상수 \(M_{21}\)을 상호 인덕턴스 (mutual inductance)라고 부른다. 상호 인덕턴스는 벡터 포텐셜을 사용하면 무슨 의미인지 계산해볼 수 있다.
\[\Phi_{2} = \int_{S_{2}} \vec{B}_{1} \cdot d \vec{a}_{2} = \int_{S_{2}} (\nabla \times \vec{A}_{1}) \cdot d \vec{a}_{2}\] \[= \oint_{C_{2}} \vec{A}_{1} \cdot d \vec{l}_{2} = \oint_{C_{2}} \left( \frac{\mu_{0}}{4\pi} I_{1} \oint_{C_{1}} \frac{d\vec{l}_{1}}{\eta} \right) \cdot d\vec{l}_{2}\] \[= \left( \frac{\mu_{0}}{4\pi} \oint_{C_{2}} \oint_{C_{1}} \frac{d\vec{l}_{1} \cdot d\vec{l}_{2}}{\eta} \right) I_{1} = M_{21} I_{1}\] \[\therefore ~~ M_{21} = \frac{\mu_{0}}{4\pi} \oint_{C_{2}} \oint_{C_{1}} \frac{d\vec{l}_{1} \cdot d\vec{l}_{2}}{\eta}\]이를 노이만 공식(Neumann formula) 라고 부른다. 여기서 알 수 있는 건, 상호 인덕턴스는 순전히 도선의 기하학적 모형, 위치에만 영향을 준다. 또, \(M_{12}\)를 계산해봐도 \(M_{21}\)과 같다.
\[M_{12}=M_{21}=M\]이것이 의미하는 바는, 각각 도선에 같은 전류를 흘리면 도선의 모양에 상관없이 반대쪽 도선에는 두 케이스 모두 같은 선속이 지난다는 것이다.
\[\Phi_{2}=M I = \Phi_{1}\]따라서, 도선 2에 생기는 기전력은 다음과 같다.
\[\varepsilon_{2} = - \frac{d\Phi_{2}}{dt} = -M \frac{dI_{1}}{dt}\]왜, 위에서 정전기학의 내용을 사용했는가?
정전자기학이란 시간에 대한 변화가 없는 steady state인 경우와 같다.
\[\frac{\partial \vec{J}}{\partial t}=0\]자기장과 전기장도 시간에 대해 변하지 않는다.
\[\frac{\partial \vec{E}}{\partial t}=\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}=0\]시간에 대한 자기장이나 전기장 변화가 있지만, 그것이 아주 작아 무시할 수 있을 때 정전자기학의 이론(앙페르 법칙, 비오 사바르 법칙) 등을 사용할 수 있다. 이런 경우를 준정적 (quasistatic)라고 한다. 즉, 시간에 대한 변화를 아주 천천히 준다면 준정적 상태이며, 정전기학의 내용을 사용하면 근사적으로 맞는다.
만약 시간에 대한 자기장이나 전기장의 변화가 무시할 수 없다면, 전자기장이 서로 얽혀 전자기 파동이 생겨나 퍼져나가게 된다.
상호 인덕턴스를 왜 배우는가?
- 변압기가 이거 없으면 작동 안됨
- 무선 충전, RFID, NFC 다 이거 기반임
변압기같은 경우 코일 감은 수 비율로 전압이 변환됨을 이용한다. 이게 없으면 현대 전력 시스템이 불가능하다. 멀리서 전력을 보내려면 고압으로 보내야 손실이 적은데, 사용할 땐 저압으로 사용해야 안전하기 때문이다.
자체 인덕턴스가 무엇인가?
자체 인덕턴스(self-inductance) 또는 간단히 인덕턴스(inductance)라고 부른다. 이것이 무엇인가?
코일에 전류 \(I\)를 보내면, 바로 전류 \(I\)가 흐르지 않는다. 전류 0부터 \(I\)까지 도달하는데 연속적인 과정을 거친다. 그 과정 사이에 만들어지는 자기장에 의해, 도선 내에 스스로 기전력을 만든다. 그 기전력은 렌츠 법칙을 따라 항상 선속을 방해하는 방향으로 만들어진다. 도선을 통과하는 선속은 위의 상호 인덕턴스와 같이 인덕선트 x 전류와 같다.
\[\Phi= LI\]이 \(L\)을 자체 인덕턴스라고 한다. 단위는 헨리[H] 이며, 1헨리의 차원은 \(\frac{V \cdot t}{A}\)이다. 인덕턴스는 전류 변화에 저항하는 성질과 같다. 이 성질은 마치 관성과 같다. 무거운 물체는 움직이기 힘이 많이 필요하듯, 인덕턴스가 큰 회로는 전류를 변화시키기 어렵다. 전류가 흐르는 것을 방해하는 기전력을 역기전력 (back emf)이라고 하며, 다음과 같이 계산할 수 있다.
\[\varepsilon = -L \frac{dI}{dt}\]인덕턴스가 L인 회로에 전류 I를 흐르게 하기 위해 필요한 에너지가 얼마인가?
\[W=\oint \vec{F} \cdot d\vec{l} = \oint q\vec{f} \cdot d\vec{l} = q \varepsilon\] \[\frac{dW}{dt} = \varepsilon \frac{dq}{dt} = \varepsilon I = -\varepsilon_{b} I\] \[= - \left( -L \frac{dI}{dt} \right) I = LI \frac{dI}{dt}\] \[\implies \int \frac{dW}{dt}dt = \int LI \frac{dI}{dt} dt\] \[\implies \int dW = \int LI dI\] \[\implies W = \frac{1}{2}LI^2\]인덕턴스가 \(L\)인 회로에 전류 \(I\)를 흘리면, \(\frac{1}{2}LI^2\) 에너지만큼 인덕터(회로, 코일 등)에 저장되어 있다. 이는 전류를 끊으면 다시 되돌려 받는 에너지다. 전류가 줄어들면, 자기장이 줄어들고, 자기 선속이 줄어들으며, 줄어드는 자기선속을 보강하기 위한 역기전력으로 에너지를 돌려받는다.
식을 조작하여, 이 에너지는 사실 자기장이 갖고있는 에너지임을 보이겠다.
\[W = \frac{1}{2}I \cdot LI = \frac{1}{2}I \Phi = \frac{1}{2} I \int \vec{B} \cdot d\vec{a}\] \[= \frac{1}{2}I \int (\nabla \times \vec{A}) \cdot d\vec{a} = \frac{1}{2}I \oint_{C} \vec{A} \cdot d\vec{l}\] \[= \frac{1}{2 }\oint_{C} \vec{A} \cdot \vec{I} dl = \frac{1}{2} \int_{V} \vec{A} \cdot \vec{J} d\tau\]이때 \(\nabla \times \vec{B} = \mu_{0}\vec{J}\)임을 이용하면
\[=\frac{1}{2\mu_{0}}\int_{V} \vec{A} \cdot (\nabla \times \vec{B}) d\tau\]이때 \(\nabla \cdot (\vec{A} \times \vec{B}) = \vec{B} \cdot (\nabla \times \vec{A}) - \vec{A} \cdot (\nabla \times \vec{B})\)임을 이용하면
\[= \frac{1}{2\mu_{0}} \int_{V} \vec{B} \cdot (\nabla \times \vec{A}) - \nabla \cdot (\vec{A} \times \vec{B}) d\tau\] \[= \frac{1}{2\mu_{0}} \int_{V} B^2 d\tau - \frac{1}{2\mu_{0}} \oint_{S} \vec{A} \times \vec{B} d\tau\]\(V\)와 \(S\)의 범위를 전 범위까지 늘리면, 그 경계에서 자기장은 0이다.
\[= \frac{1}{2\mu_{0}}\int_{all ~space} B^2 d\tau\] \[\therefore~~ W = \frac{1}{2}LI^2 = \frac{1}{2\mu_{0}} \int_{all~space} B^2 d\tau\]단위 체적당 자기장에 저장된 에너지는 \(\frac{1}{2\mu_{0}}B^2\)와 같다.