기초전자기학 1. 벡터해석

건국대학교 여준현 교수님의 전자기학1 수업을 정리한 내용입니다. 교재: Introduction to electrodynamics, David J. Griffths (4판)

Del Operator

• \(\displaystyle \nabla = \left( \frac{\partial }{\partial x}, \frac{\partial }{\partial y}, \frac{\partial }{\partial z} \right) = \sum_{i=1}^{n} \hat{e}_{i} \frac{\partial}{\partial x_{i}}\)
  • \(\nabla f\)
  • \(\nabla \cdot \vec{A}\)
  • \(\nabla \times \vec{A}\)
  • \(\nabla^2 f\)
  • \(\nabla^2 \vec{A} = (\nabla^2 A_{x}, \nabla^2A_{y}, \nabla^2A_{z})\)
  • \(\nabla \times (\nabla f ) = \vec{0}\)
  • \(\nabla(\nabla \cdot \vec{A})\) : 물리적인 의미는 없다.
  • \(\nabla \cdot (\nabla \times \vec{A} ) = 0\)
  • \(\nabla \times (\nabla \times \vec{A}) = \nabla(\nabla \cdot \vec{A}) - \nabla^2 \vec{A}\)

3차원 공간에 대한 미분 연산자와 같다.

등장 배경

\(d f(x,y,z)\)는 어떻게 정의될 수 있을까? 우선 \(df(x,y,z)\)는 다음과 같다.

\[f(x+dx, y, z) - f(x,y,z) + f(x,y+dx,z) - f(x,y,z)+ f(x,y,z+dz) - f(x,y,z)\]

이때, \(\displaystyle {f(x+dx,y,z) - f(x,y,z)} = \frac{{\partial f}}{\partial x} dx\)와 같으므로 다음과 같다.

\[df(x,y,z) = \frac{\partial f}{\partial x} dx + \frac{{\partial f}}{\partial y} dy + \frac{{\partial f}}{fz}dz= \left( \frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}, \frac{\partial f}{\partial z} \right) \cdot (dx, dy, dz)\]

함수 \(f(x,y,z)\)를 각각 x, y, z에 대해서 미분한 결과 벡터를 반환하는 것은 의미를 가진다. 따라서 다음과 같은 새로운 벡터 미분 연산자를 정의하자.

\[\nabla = \left( \frac{\partial }{\partial x}, \frac{\partial }{\partial y}, \frac{\partial }{\partial z} \right)\]

\(\nabla\)를 사용하면, \(df(x,y,z)\)를 간단하게 표현할 수 있다.

\[df(x,y,z) = \nabla f \cdot d \vec{r}\]

Field

공간 상의 지점마다 다른 값을 갖는 물리량을 Field라고 한다. 공간의 각 지점마다 Scalar Value가 mapping 되어있다면 Scalar Field이다. Vector가 mapping되어 있다면 Vector Field이다. 수학적으로 벡터를 입력받는 스칼라 함수 또는 벡터 함수로 구현된다.

물리학에서 중력을 두 물체의 원거리 상호작용으로 해석하는 것보다, 질량을 가진 물질은 장을 만들고, 그 장 안으로 들어온 다른 입자는 장에 의해 힘을 받는다. 라는 해석이 더 직관적이다.

Dirac Delta Function (디렉 델타 함수)

[!question]- 등장 배경{title} \(\displaystyle \frac{1}{r^2} \hat{r}\) 벡터함수의 발산은 원점이 아닌 지점에서 0이다.

\[\nabla \cdot \frac{1}{r^2} \hat{r} = \frac{1}{r^2\sin \theta} \left( \frac{\partial}{\partial r}\left( r^2\sin \theta \cdot \frac{1}{r^2} \right) \right)= \frac{1}{r^2} \frac{\partial}{\partial r} (1) = 0\]

원점에선, \(r=0\)이므로 벡터 값이 \(\infty\)이다.

원점을 중심으로 하고, 반지름이 R인 구를 통과하는 Flux 양을 계산해보자.

\[\oint_{S} \frac{1}{r^2} \hat{r} \cdot d\vec{a} = \oint_{S} \left( \frac{1}{R^2} \hat{r} \right) \cdot (R^2 \sin \theta d\theta d\phi \hat{r})\] \[= \int_{0}^{\pi} \int_{0}^{2\pi} \sin \theta d\theta d\phi= \left( \int_{0}^{\pi} \sin \theta d\theta \right) \left( \int_{0}^{2\pi} d\phi \right)\] \[= [-\cos \theta]^{\pi}_{0} \cdot 2\pi = 4\pi\]

그런데 발산정리에 의해서 \(\displaystyle \int_{V} (\nabla \cdot \frac{1}{r^2} \hat{r}) dV = \oint_{S} \frac{1}{r^2} \hat{r} \cdot d\vec{a}\) 이거 두개가 같아야 하는데.. 그렇다면, \(4\pi\)만큼의 Flux는 전부다 원점에서 나오고 있는것이 분명하다. 이것을 표현하기 위해 새로운 표현법이 등장할 필요가 있다.

1 Dim

• \(\displaystyle \delta(x) = \begin{cases} 0 & \text{if } x \neq 0\\ \infty & \text{if } x = 0 \end{cases}\)
• \(\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty}\delta(x) dx = 1\)
• \(\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} f(x) \delta(x) dx = f(0)\)

델타 함수는 델타 함수와 \(f(x)\)의 곱을 적분했을 때 \(x=0\)에서 \(f(x)\) 값을 뽑아내는 기능을 한다. 적분하면 적분은 \(\delta(x)\)가 0이 아닌 지점에서 전부 0이므로, \(f(0)\)만 살아남기 때문이다. 만약 0이 아니라, 다른 곳에서 함수값을 뽑아내고 싶다면 \(\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty}f(x) \delta(x-a)dx = f(a)\)와 같이 사용하면 된다. \(\delta(x-a)\)는 \(x=a\) 지점에서만 0이 아니고, 나머지는 다 0이다.

델타 함수 단독으로는 별 의미가 없다. 어떤 함수와 곱해지고, 그것이 적분될 때 의미를 가진다.

3 Dim

• \(\delta^3 (\vec{r}) = \delta^3(x,y,z) = \delta(x) \delta(y) \delta(z)\)
• \(\displaystyle \int_{all~space} \delta^3(\vec{r}) dV = 1\)
• \(\displaystyle \int_{all~space} f(\vec{r}) \delta^3(\vec{r} - \vec{a}) dV = f(\vec{a})\)

함수에 델타 함수 \(\delta^3(\vec{r} - \vec{a})\)를 곱하여 \(f(\vec{r}) \delta^3(\vec{r} - \vec{a})\)를 적분하면, \(\vec{r} = \vec{a}\)에서의 함수값을 뽑아내는 것이 된다.

[!tip]- 델타 함수는 Kronecker Delta의 연장선이다.{title} 즉 \(\delta_{ij} \to \delta(i - j)\)와 같다.

\[\sum_{j} a_{j} \delta_{ij} = a_{i}\]

이산적인 \(\sum\) 연산자에서 사용하던 크로네커 델타를 연속적인 적분 기호에서 사용하면

\[\int dx' f(x)' \delta(x-x') = f(x)\]

델타 함수가 그 역할을 대신한다.

성질

1. \(\delta(x) = \delta(-x)\) : \(\delta(x)\)는 짝수함수다.
2. \(\displaystyle \delta(ax) = \frac{1}{\lvert a \rvert } \delta(x)\) : \(\delta(ax)\)와 같이 상수가 곱해져 있으면 밖으로 뽑아낼 수 있다.
   • \(\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} f(x) \delta(ax) dx = \int_{-\infty}^{\infty} f\left( \frac{y}{a} \right) \delta(y) \frac{dy}{a} = f(0) \cdot \frac{1}{a}\)
   • a<0이면 \(\displaystyle \delta(ax) = \delta(- \lvert a \rvert x ) = \delta ( \lvert a \rvert x) = \frac{1}{\lvert a \rvert } \delta(x)\)
3. \(\delta(g(x))\)는 \(g(x)\)가 0이 되는 x 값만 뽑아 내겠다는 뜻이다.
4. \(f(x)\delta'(x)\)를 적분한다는 것은, \(-f'(0)\)을 추출하는 것과 같다.
   • \(\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} f(x) \delta'(x) dx\)를 부분적분 하면 \(\displaystyle [f(x)\delta(x)]^\infty_{-\infty} - \int_{-\infty}^{\infty} f'(x)\delta(x)dx = -f'(0)\)
   • 첫번째 항은 사라지고, 뒤에 항은 알고있는 것이다.

3번 성질을 응용할 수 있다. \(g(x) = 0\)이 되는 \(x\)를 \(x_{i}\)라고 하면 \(g(x_{i}) = 0\)이다. \(g(x)\)는 \(x=x_{i}\) 근처에서 \(g(x) \simeq g(x_{i}) + g'(x_{i})(x-x_{i})\)로 선형 근사할 수 있다. 따라서 \(\displaystyle \delta(g(x)) = \sum_{i} \delta(g'(x_{i})(x-x_{i}))\)이며, 델타 함수를 \(x_{i}\) 개수만큼 쪼갤 수 있음을 알아낸다.

\[\delta (x^2-1) = \delta((x+1)(x-1))= \delta(2(x-1)) + \delta(-2(x+1))\] \[= \frac{1}{\lvert 2 \rvert } \delta(x-1) + \frac{1}{\lvert -2 \rvert }\delta(x+1) \frac{1}{2} \delta(x-1) + \frac{1}{2} \delta(x+1)\]

미분 규칙

두 함수의 연산 결과가 스칼라 함수이면, 스칼라 함수의 미분 규칙연산 결과가 벡터 함수이면, 벡터 함수의 미분 규칙으로 분류한다. 각 미분 규칙에는, 다섯가지 항목이 존재한다.

1. 덧셈 규칙
2. 상수 곱셈 규칙
3. 곱의 미분법
4. 몫의 미분법

5. 합성함수 미분법

6. 스칼라 함수의 미분 규칙
   • 스칼라 함수 \(\cdot\) 스칼라 함수 = 스칼라 함수
   • 벡터 함수 \(\cdot\) 벡터 함수 = 스칼라 함수
     1. Ordinary Differential
        1. \(\displaystyle \frac{d}{dx}(f + g) = \frac{df}{dx} + \frac{dg}{dx}\)
        2. \(\displaystyle \frac{d}{dx}(kf) = k \frac{df}{dx}\)
        3. \(\displaystyle \frac{d}{dx}(fg) = f' g + f g'\)
        4. \(\displaystyle \frac{d}{dx} \left( \frac{f}{g} \right) = \frac{{f'g - fg'}}{g^2}\)
        5. \(\displaystyle \frac{d}{dx} f(g(x)) = f'(g(x)) \cdot g'(x)\)
        6. \(\displaystyle \frac{d}{dt}[\textbf{u}(t) \cdot \textbf{v}(t) ] = \frac{d}{dt}\textbf{u}(t) \cdot \textbf{v}(t) + \textbf{u}(t) \cdot \frac{d}{dt} \textbf{v}(t)\)
     2. Gradient
        1. \(\nabla (f + g) = \nabla f + \nabla g\)
        2. \(\nabla (kf) = k \nabla f\)
        3. \(\nabla (fg) = g\nabla f + f \nabla g\)
        4. \(\displaystyle \nabla \left( \frac{f}{g} \right) = \frac{{g \nabla f - f \nabla g}}{g^2}\)
        5. \(\nabla (\vec{A} \cdot \vec{B}) = \vec{A} \times (\nabla \times \vec{B}) + \vec{B}\times (\nabla \times \vec{A}) + (\vec{A} \cdot \nabla)\vec{B} + (\vec{B} \cdot \nabla) \vec{A}\)
7. 벡터 함수의 미분 규칙
   • 스칼라 함수 \(\cdot\) 벡터 함수 = 벡터 함수
   • 벡터 함수 \(\times\) 벡터 함수 = 벡터 함수
     1. Ordinary Differential
        1. \(\displaystyle \frac{d}{dt}[\textbf{u}(t) + \textbf{v}(t)] = \frac{d}{dt}\textbf{u}(t) + \frac{d}{dt}\textbf{v}(t)\)
        2. \(\displaystyle \frac{d}{dt} c \textbf{u}(t) = c \frac{d}{dt} \textbf{u}(t)\)
        3. \(\displaystyle \frac{d}{dt}[f(t) \textbf{u}(t)] = \frac{d}{dt}f(t) \textbf{u}(t) + f(t) \frac{d}{dt}\textbf{u}(t)\)
        4. \(\displaystyle \frac{d}{dt}[\textbf{u}(t) \times \textbf{v}(t) ] = \frac{d}{dt}\textbf{u}(t) \times \textbf{v}(t) + \textbf{u}(t) \times \frac{d}{dt} \textbf{v}(t)\)
        5. \(\displaystyle \frac{d}{dt} \textbf{u}(f(t)) = \frac{d}{dt}f(t) \cdot \frac{d}{dt}\textbf{u}(f(t))\)
     2. Divergence
        1. \(\nabla \cdot (\vec{A} + \vec{B}) = \nabla \cdot \vec{A} + \nabla \cdot \vec{B}\)
        2. \(\nabla \cdot (k \vec{A}) = k (\nabla \cdot \vec{A})\)
        3. \(\nabla \cdot (f \vec{A}) = \vec{A} \cdot (\nabla f) + f (\nabla \cdot \vec{A})\)
        4. \(\nabla \cdot (\vec{A} \times \vec{B}) = \vec{B} \cdot (\nabla \times \vec{A}) - \vec{A} \cdot (\nabla \times \vec{B})\)
        5. \(\displaystyle \nabla \cdot \left( \frac{\vec{A}}{g} \right) = \frac{{g (\nabla \cdot \vec{A}) - \vec{A} \cdot (\nabla g)}}{g^2}\)
     3. Curl
        1. \(\nabla \times (\vec{A} + \vec{B})\)
        2. \(\nabla \times (k \vec{A}) = k (\nabla \times \vec{A})\)
        3. \(\nabla \times (f \vec{A}) = f (\nabla \times \vec{A}) - \vec{A} \times \nabla f\)
        4. \(\nabla \times (\vec{A} \times \vec{B}) = (\vec{B} \cdot \nabla) \vec{A} - (\vec{A} \cdot \nabla) \vec{B} + \vec{A}(\nabla \cdot \vec{B}) - \vec{B}(\nabla \cdot \vec{A})\)
        5. \(\displaystyle \nabla \times \left( \frac{\vec{A}}{g} \right) = \frac{{g (\nabla \times \vec{A}) + \vec{A} \times (\nabla g)}}{g^2}\)

[!question]- (1) (1) (4) 증명{title} \(F(x) = \frac{f(x)}{g(x)}\)라고 정의한다.

\[\frac{d}{dx}F(x) = \frac{F(x+dx)-F(x)}{dx}\] \[= \frac{\left( \frac{f(x+dx)}{g(x+dx)} - \frac{f(x)}{g(x)}\right)}{dx}\] \[= \frac{f(x+dx)g(x) - f(x)g(x+dx)}{dx \cdot g(x+dx)g(x)}\] \[= \frac{f(x+dx)g(x) - f(x)g(x+dx) + f(x)g(x) - f(x)g(x)}{dx \cdot g(x+dx)g(x)}\] \[= \frac{(f(x+dx)-f(x))g(x) - f(x)(g(x+dx)-g(x))}{dx \cdot g(x+dx)g(x)}\] \[= \frac{f'(x)g(x)}{g(x+dx)g(x)} - \frac{f(x)g'(x)}{g(x+dx)g(x)}\] \[= \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{g(x)^2}\]

[!question]- (1) (1) (6) 증명{title} \(\textbf{u}(t) = (f_{1}(t), f_{2}(t), f_{3}(t))\), \(\textbf{v}(t) = (g_{1}(t), g_{2}(t), v_{3}(t))\)라고 하자.

\[\textbf{u}(t) \cdot \textbf{v}(t) = f_{1}(t) g_{1}(t) + f_{2}(t) g_{2}(t) + f_{3}(t)g_{3}(t)\] \[\frac{d}{dt} [\textbf{u}(t) \cdot \textbf{v}(t)]\] \[= f_{1}'(t)g_{1}(t) + f_{1}(t) g_{1}'(t)+ f_{2}'(t)g_{2}(t) + f_{2}(t) g_{2}'(t)+ f_{3}'(t)g_{3}(t) + f_{3}(t) g_{3}'(t)\] \[= f_{1}'(t)g_{1}(t) + f_{2}'(t)g_{2}(t) + f_{3}'(t)g_{3}(t) + f_{1}(t) g_{1}'(t) + f_{2}(t) g_{2}'(t) + f_{3}(t) g_{3}'(t)\] \[= \textbf{u}'(t) \textbf{v}(t) + \textbf{u}(t) + \textbf{v}'(t)\]

[!question]- (2) (2) (4) 증명{title} \(\nabla = (\frac{\partial}{\partial x_{1}}, \frac{\partial}{\partial x_{2}}, \frac{\partial}{\partial x_{3}})\)라고 하자.

\[\nabla \cdot (\vec{A} \times \vec{B}) = \sum_{i=1}^{3} \frac{\partial}{\partial x_{i}} (\vec{A} \times \vec{B})_{i}\] \[= \sum_{i=1}^{3} \frac{\partial}{\partial x_{i}} \sum_{j,k=1}^{3} \epsilon_{ijk} A_{j} B_{k}\] \[= \sum_{i,j,k}^{3} \epsilon_{ijk} \frac{\partial}{\partial x_{i}} (\vec{A_{j}} \vec{B}_{k})\] \[= \sum_{i,j,k}^{3} \epsilon_{ijk} \left( \frac{\partial \vec{A}_{j}}{\partial x_{i}} B_{k} + A_{j}\frac{\partial \vec{B}_{k}}{\partial x_{i}} \right)\] \[= \sum_{i,j,k}^{3} \epsilon_{ijk} \frac{\partial \vec{A}_{j}}{\partial x_{i}} B_{k} + \sum_{i,j,k}^{3} \epsilon_{ijk} A_{j}\frac{\partial \vec{B}_{k}}{\partial x_{i}}\] \[= \sum_{k=1}^{3} \vec{B}_{k} \sum_{i,j}^{3}\epsilon_{kij} \frac{\partial }{\partial x_{i}} \vec{A}_{j} + \sum_{j=1}^{3} \vec{A}_{j} \sum_{i,k}^{3}-\epsilon_{jik} \frac{\partial }{\partial x_{i}} \vec{B}_{k}\] \[= \sum_{k=1}^{3} \vec{B}_{k} (\nabla \times \vec{A})_{k} - \sum_{j=1}^{3} \vec{A}_{j} (\nabla \times \vec{B})_{j}\] \[= \vec{B} \cdot (\nabla \times \vec{A}) - \vec{A} \cdot (\nabla \times \vec{B})\]

[!question]- (2) (3) (3) 증명{title}

\[(\nabla \times (f \vec{A}))_{i} = \sum_{j,k=1}^{3} \epsilon_{ijk} \frac{\partial}{\partial x_{j}} (f \vec{A})_{k}\] \[= \sum_{j,k}^{3} \epsilon_{ijk} \left( \frac{{\partial f}}{\partial x_{j}} \vec{A}_{k} + f {\frac{\partial \vec{A}_{_{k}}}{\partial x_{j}}} \right)\] \[= \sum_{j,k}^{3} \epsilon_{ijk} \frac{{\partial f}}{\partial x_{j}} \vec{A}_{k} + f \sum_{j,k}^{3} \epsilon_{ijk} \frac{\partial}{\partial x_{j}} \vec{A}_{k}\] \[= ((\nabla f) \times \vec{A})_{i} + f (\nabla \times \vec{A})_{i}\] \[\implies \nabla \times (f \vec{A}) = (\nabla f) \times \vec{A} + f (\nabla \times \vec{A})_{i}\] \[= f (\nabla \times \vec{A}) - \vec{A} \times (\nabla f)\]