고급컴퓨터그래픽스 5. Interpolation-based Animation

건국대학교 고급컴퓨터그래픽스 김형석 교수님의 수업을 정리한 내용입니다.

Computer Animation Methods

1. Physic Simulation
   1. Good 퀄리티
   2. Many 계산량
2. Keyframe
   1. Simple
   2. 아티스트에 따라 퀄리티 달라짐
3. Motion Capture
   1. 키프레임을 기계가 잡아줌
   2. 모델에 따라 키프레임을 다시 맞춰줘야 함

How to Animation?

object의 시간에 따라 property value의 값을 설정해두고, 그 값을 Spline으로 보간하면 된다. property value를 \(p\)라고 하면, \(p=P(L^{-1}(S(t)))\) 함수를 사용하여 시간을 매개변수로 하는 보간 Spline을 얻을 수 있다.

[!question]- What is \(p=P(L^{-1}(S(t)))\)?{title} Key는 \((\text{time}, \text{position})\) 쌍의 집합으로 주어져야 자연스럽다. 주어진 Key를 반드시 지나도록 중간 경로를 자연스럽게 생성해야 한다.

최종 위치를 \(p\)라고 하자. 위치 값이므로, \(p\)는 2차원 또는 3차원 벡터가 되어야 할 것이다. 주어진 Key의 시간 집합을 \(\{t_{0}, t_{1}, \dots, t_{n}\}\), 위치 집합을 \(\{ p_{0}, p_{2}, \dots, p_{n} \}\)라고 하자. 보간 곡선은 \(u=[0,1]\) 범위의 파라미터를 사용하는 \(p=P(u)\) 함수를 사용할 수 있다. 하지만 파라미터 \(u\)는 직관적이지 않으므로, 곡선의 길이 함수 \(\displaystyle s=L(u)=\int_{u_{0}^{u}} \lvert P'(u') \rvert du'\)의 역함수인 \(u=L^{-1}(s)\)를 사용하여 \(p=P(L^{-1}(s))\)로 바꾼다. 길이를 파라미터로 쓰는 것보단, 시간을 파라미터로 쓰는게 가장 좋으므로 \(s=S(t)\) 함수를 도입하여 최종적으로 \(p=P(L^{-1}(S(t)))\) 시간을 입력으로 받아 Key Set을 자연스럽게 지나는 보간 함수를 완성한다.

[!tip]- \(p=P(u)\) 함수 종류 (Spline){title}

1. Spline Interpolation
   1. Linear Spline
   2. Bezier Spline
   3. Hermite Spline
   4. Catmull-Rom Spline
   5. B-Spline
2. Lagrange Polynomial Interpolation : \(\displaystyle P(u) = \sum_{j=0}^{k}y_{i} \prod_{0\leq m<k, m\neq i} \frac{{x-x_{m}}}{x_{i}-x_{m}}\)
   • \(p_{i}=(x_{i},y_{i})\), \(\displaystyle \prod_{0\leq m<k, m\neq i}\) : \(0\leq m<k, m\neq i\) 조건의 값을 모두 곱하라.
   • Key가 많아질수록 오류가 커진다.

[!tip]- \(u=L^{-1}(s)\) 계산 방법 (Super Sampling){title} \(u=L^{-1}(s)\) 함수를 컴퓨터로 해석적으로 적분하고, 역함수를 구하는 것은 힘드므로 수치해석 방법으로 접근한다. \(\displaystyle \int_{u_{0}^{u}} \lvert P'(u') \rvert du' \simeq \sum_{i=0}^\text{res} \lvert P(u_{i}) -P(u_{i-1}) \rvert\), \(\text{res} =\) 해상도, 얼마나 잘게 쪼갤 거냐를 의미한다. 예를들어, \(res=20\)으로 설정 후 값을 계산하면 하나의 Table을 만들 수 있다. 테이블은 DP로 구현할 수 있을 듯.

index	u	s
0	0	0.000
1	0.05	0.08
2	0.10	0.15
3	0.15	0.23
…	…	…
20 (res)	1.00	1.00

이후 \(s=0.10\)일 때 대응하는 u를 찾고 싶다면, table에서 Binary Search하여 0.1과 가장 근접한 두 \(s\)값을 찾는다. 또는 Table을 Binary Tree로 구현해서 successor와 predecessor를 찾으면 된다. 이를 \(s_{k}, s_{k+1}\)이라고 하자. \(s, s_{k}, s_{k+1}\)의 비율을 계산하여 그 비율만큼 \(u_{k}, u_{k+1}\) 에 곱해주면 원하는 \(u\)값을 찾을 수 있다. \(\displaystyle u= \frac{s_{k+1}-s}{s_{k+1}-s_{k}}(u_{k+1}-u_{k}) + u_{k}\), 이 방식을 Super Sampling라고 한다.

이후 적절한 해상도 값 \(res\)를 어떻게 찾을 수 있을까? \(res\) 값을 점점 늘려가면서 총 곡선 길이의 차이가 크지 않을때까지 \(res\)를 늘려가면 된다. 체크는 1번에 끝내는게 아니라, 2~3번 해줘야 한다. 그 이유는 오른쪽 그림과 같은 예외 케이스가 존재하기 떄문이다.

[!tip]- \(s=S(t)\) 함수 종류{title}

일반적으로 Ease-in/Ease-out Function 함수를 사용해서 부드럽게 이동할 수 있도록 한다.

• Sinusoidal

\[S(t)= \frac{1}{2} \left( \sin\left( t \pi-\frac{\pi}{2} \right) +1 \right)\]

• Single Cubic

\[S(t) = -2t^3+3t^2\]

• Piecewise Sinusoidal

\[S(t) = \begin{cases} \frac{1}{f} \cdot{k_1 \frac{2}{\pi} \left(\sin\left(\frac{t \pi}{2 k_1} - \frac{\pi}{2}\right)\right)} & t \leq k_1 \\[10pt] \frac{1}{f}\left( {\frac{k_1}{\frac{\pi}{2}} + (t - k_1)} \right) & k_1 < t \leq k_2 \\[10pt] \frac{1}{f} \left( {\frac{k_1}{\frac{\pi}{2}} + k_2 - k_1 + (1 - k_2) \frac{2}{\pi} \sin\left(\frac{\pi (t - k_2)}{2 (1 - k_2)}\right)} \right) & t > k_2 \end{cases}\] \[\displaystyle f = k_1 \frac{2}{\pi} + k_2 - k_1 + (1 - k_2) \frac{2}{\pi}\]

• Constant Acceleration

\[\displaystyle S(t) = \begin{cases} \frac{v_0 t^2}{2 t_1} & 0.0 < t \leq t_1 \\[10pt] v_0 \frac{t_1}{2} + v_0 (t - t_1) & t_1 < t \leq t_2 \\[10pt] v_0 \frac{t_1}{2} + v_0 (t_2 - t_1) + v_0 \left(1 - \frac{(t - t_2)}{2 (1 - t_2)}\right)(t - t_2) & t_2 < t \leq 1.0 \end{cases}\]

\(t_{1}, t_{2}\)는 각각 가속이 끝나는 시간, 가속이 시작되는 시간으로 임의로 설정 가능하다.

[!tip]- 그래프 모양, 순서대로 1. 2. 3. 4.{title}

Rotate Animation

1. 수동 Animating : object의 euler angle property를 정의하고, x, y, z 각도를 직접 animating 할 수 있다.
2. 자동 Animating : 만약 객체가 움직이는 경로를 보고 항상 앞을 바라보게 하고 싶다면, Path의 접선, 법선 벡터를 구해서 Forward, Up 방향으로 지정한다. 이후 벡터를 보간하기 위해 Quaternion Interpolation을 사용한다.

[!tip]- Tangent Vector, Normal Vector 구하는 법{title}

오브젝트는 위치 뿐만이 아니라 방향 정보도 가져야 한다. 나의 위치, 바라보는 방향, 위의 방향을 모두 포함하는 좌표계를 사용하는데, 이를 Frenet Frame라고 한다. \(P(t)\)를 알고 있으면, 앞, 위, 옆 방향을 모두 자동으로 계산해낼 수 있다.

• \(T\)는 Tangent Vector로 곡선의 접선 방향, 즉 앞 방향과 같다. \(\displaystyle T(u) = \frac{P'(u)}{\lvert P'(u) \rvert}\)
• \(N\)은 Normal Vector로 곡선의 법선 방향, 즉 위 방향과 같다. \(\displaystyle N(u)= \frac{T'(u)}{\lvert T'(u) \rvert} = \frac{P''(u)}{\lvert P''(u) \rvert}\)
• \(B\)는 Binormal로 두 곡선의 Cross 곱, 즉 옆 방향과 같다. \(\displaystyle B(u) = T(u) \times N(u)\)

따라서 \(P'(u)\)와 \(P''(u)\)를 구할 수 있다면 바라보는 방향을 자동으로 계산할 수 있다.

\(P(u) = UMB\)일 때 \(P'(u)=U'MB\), \(P''(u)=U''MB\)이다. \(U= \left[ \begin{matrix} u^3 & u^2 & u & 1 \end{matrix} \right]\), \(U'= \left[ \begin{matrix} 3u^2 & 2u & 1 & 0 \end{matrix} \right]\), \(U''= \left[ \begin{matrix} 6u & 2 & 0 & 0 \end{matrix} \right]\)이므로 \(u=L^{-1}S(t)\) 를 통해 u값을 계산해서 행렬곱 계산만 하면 해당 점에서 \(T, N ,B\) 벡터를 계산할 수 있다.

[!tip]- Vector를 보간하는 법 : Quaternion Interpolation{title} \(T, N,B\) 벡터를 쌩으로 보간하는 것은 어렵고, 보간을 해도 결과가 이상하다. 따라서 \(T, N, B\) 벡터를 \(R= \left[ \begin{matrix} T_{x} & N_{x} & B_{x} \\ T_{y} & N_{y} & B_{y} \\ T_{z} & N_{z} & B_{z} \end{matrix} \right]\)의 회전 행렬로 표현하고, 회전 행렬을 쿼터니언으로 바꿔서 두 쿼터니언 사이를 보간 후, 보간된 쿼터니언을 다시 회전 행렬로 변환하는 아이디어를 사용한다.

각 Sample된 점마다 \(T, N, B\) 벡터를 행렬로 바꾸고, 행렬을 쿼터니언으로 변환한다. 이후 쿼터니언을 보간하기 위해 Sin Linear (Slerp) Interpolation 또는 Bazier Spline Interpolation 방법을 사용한다.

[!question]- Quaternion?{title}

복소수는 실수 체계의 2차원 확장이고, \(z=a+bi\)와 같다. 쿼터니언은 실수 체계의 4차원 확장이고, \(q=s+x i + y j + z k\)와 같다. \(i, j, k\)는 각각 다른 방향의 허수 차원이며, \(i^2 = j^2 = k^2 = ijk = -1\)가 성립한다. 편의상 \(q=s+x i + y j + z k\)와 같은 쿼터니언을 \(\vec{v}=(x,y,z)\) 벡터로 생각하여 \(q=[\begin{matrix}s & \vec{v}\end{matrix}]\)로 표기할 수 있다.

쿼터니언의 기본 연산은 다음과 같다.

1. Addition : \(q_{1} +q_{2} = [\begin{matrix} s_{1} + s_{2} & \vec{v}_{1} + \vec{v}_{2} \end{matrix}]\)
2. Multiplication : \(q_{1}q_{2} = [\begin{matrix} s_{1}s_{2} - \vec{v}_{1} \cdot \vec{v}_{2} &s_{2}\vec{v}_{1} + s_{1}\vec{v}_{2} + \vec{v}_{1} \times \vec{v}_{2} \end{matrix}]\)
3. Inner Product : \(q_{1} \cdot q_{2} = s_{1}s_{2} + v_{1} \cdot v_{2}\)
4. Length : \(\lvert \lvert q \rvert \rvert = \sqrt{ q \cdot q }\)
5. Inverse : \(\displaystyle q^{-1} = \frac{1}{\lvert \lvert q \rvert \rvert^2} [ \begin{matrix}s & -\vec{v}\end{matrix}]\)
6. Unit quaternion : \(\displaystyle\hat{q} = \frac{q}{\lvert \lvert q \rvert \rvert}\)

각종 변환 공식은 다음과 같다. 1) Axis, \(\theta\) \(\to\) Quaternion : \(\displaystyle q = \cos\left( \frac{\theta}{2} \right) + \sin\left( \frac{\theta}{2} \right)(x i + yj + z k) = \left[ \begin{matrix} \cos \left( \frac{\theta}{2} \right) & \sin \left( \frac{\theta}{2} \right) \vec{v} \end{matrix} \right]\) - 이때 축을 \(\lvert (x,y,z) \rvert=1\)을 사용하여 Unit Quaternion으로 만드는게 좋다.

3) Quaternion \(\to\) Axis, \(\theta\) - $$\theta = 2 \cos^{-1}(s)\(- \\)\displaystyle(x,y,z) = \frac{\vec{v}}{\lvert \vec{v} \rvert}$$

4) 회전 변환 행렬 \(R \to\) Quaternion

5) Quaternion -> 회전 변환 행렬 \(R = \begin{bmatrix}1 - 2y^2 - 2z^2 & 2xy - 2sz & 2xz + 2sy \\2xy + 2sz & 1 - 2x^2 - 2z^2 & 2yz - 2sx \\2xz - 2sy & 2yz + 2sx & 1 - 2x^2 - 2y^2\end{bmatrix}\)

6) Vector -> Quaternion : \(\vec{v}=(v_{x},v_{y},v_{z}) \to q_{v}\implies q_{v} = 0 + v_{x}i + v_{y}j + v_{z}k\)

7) Quaternion -> Vector : \(q_{v}' = 0 + v_{x}'i + v_{y}'j + v_{z}'j \implies \vec{v}'=(v_{x}', v_{y}', v_{z}')\)

8) 어떤 벡터 \(\vec{v}=(v_{x}, v_{y}, v_{z})\)를 쿼터니언으로 회전시키고 싶다면 다음 과정을 거치면 된다. 1. 벡터를 쿼터니언으로 변환. 2. 벡터를 회전. \(q_{v}' = q \cdot q_{v} \cdot q^{-1}\) 3. 회전된 쿼터니언을 다시 벡터로 변환.

[!question]- Lerp?{title} Lerp는 선형 보간을 의미한다. 함수로 표현하면 다음과 같다. \(\text{lerp}( P_{0}, P_{1}, t ) = (1-t)P_{0} + tP_{1}\)

[!question]- Slerp?{title}

lerp는 선형 보간을 의미한다. 만약 쿼터니언을 선형 보간하면, 구간이 일정하지 않다는 문제가 발생한다. 따라서 각도에 따라 선형 보간을 하면 되는데, 그 방법을 Slearp라고 한다.

\[\displaystyle \text{slerp}(q_{1}, q_{2}, u) = \frac{\sin((1-u)\theta)}{\sin \theta}q_{1} + \frac{\sin(u\theta)}{\sin \theta}q_{2}\]

[!error]- 보간할 때 주의사항 : Dual representation{title}

쿼터니언은 회전을 나타낸다. \(q\). 그런데 \(q\)와 \(-q\)는 동일한 회전 결과를 표현하고, 회전하는 방향이 다를 뿐이다. 따라서 두 쿼터니언의 회전 \(\theta\) 중 작은 쿼터니언을 선택해야 자연스러울 것이다.

우리는 두 쿼터니언 \(q_{1}\), \(q_{2}\) 사이의 보간을 보고 있다. \(q_{1}\)에서 \(q_{2}\)로 갈거냐, \(-q_{2}\)로 갈거냐를 선택해야 한다. 방법은 두 쿼터니언을이 Unit Quaternion이면, 두 쿼터니언을 내적한 결과가 두 쿼터니언 사이의 \(\cos \theta\)값이 된다. 따라서 \(q_{1} \cdot q_{2}\)와 \(q_{1} \cdot (-q_{2})\) 결과 중 큰 값을 고르면 더 작은 \(\theta\) 값을 고를 수 있다.

[!question]- Bezier Spline?{title} \([q_{1}, q_{2}, \dots, q_{n}]\) 쿼터니언을 보간하기 위해 Spline을 사용할 수 있다. Bezier Spline을 사용하면, De Casteljau 알고리즘을 사용할 수 있다.

De Casteljau 알고리즘의 아이디어는 나눌 수 없을 때까지 재귀적으로 Lerp하는 것이다. 현재 Quaternion을 보간하고 싶으므로 Lerp 함수 대신 Slerp 함수를 사용하면 된다. 쉐이더에서 구현한다고 하면 재귀 대신 DP를 사용하면 될 듯. \(q_{i,j}(u) = Slerp(q_{i,j-1}, q_{i+1,j-1},u)\) \(q_{0,1}, q_{1, 1}, q_{2,1} \to q_{0, 2}, q_{1, 2} \to q_{0,3}\) 순서대로 계산해서 최종적으로 \(q_{0,3}(u)\)이 원하는 Bezier Spline 곡선 함수가 되겠다.

Smoothing data

입력된 데이터 중 급격한 변화, 노이즈를 줄여야할 때가 있다. 예를들어 모션캡쳐 후 생성된 Key를 바로 사용하는 것보다, 한번 Smoothing 과정을 거치고 사용하면 훨씬 자연스럽다.

아이디어는, 각 점마다 주변 값과의 비율을 계산해 평균을 내는 것이다. Data Set을 \([P_{1}, P_{2}, \dots, P_{n}]\)이라고 할 때, 모든 점 \(\begin{matrix}P_{i}~ (\text{for } 1 \leq i \leq n)\end{matrix}\)마다 한번씩 다음과 같은 과정을 거친다.

1. 필터와 범위를 선택한다.
2. 나 포함 주변 값의 Value * 가중치를 곱해 전부 더한다. \(\displaystyle \sum_{k=i-\frac{R}{2}}^{k+R/2} P_{k} w_{k}\) 범위 만큼의 주변값을 확인한다.
3. Sum한 값의 가중치의 합으로 나눠 정규화한 값으로 원래 값을 대체한다. \(\displaystyle P_{i}' =\frac{\text{Sum}}{\sum_{k}w_{k}}\)

Keyframe

오브젝트의 Property 값을 시간에 따라 값을 설정하고, 그 중간값은 보간하여 애니메이션을 하는 기법.

Animation Language

특정 frame (시간)의 object의 property를 language 형태로 지정하면 편할 것 같다. 이를 위한 여러 Animation Language가 존재한다.

1. Artist-oriented animation language
   • set position A (20, 30, 32) at frame 328
   • change rotation B (1,1,0) by 45 from frame 328 to 350
   • 위와 같이 스크립트를 짜서, 모든 것을 아티스트가 만드는 방법이다.
   • 간단하지만, 만약 1000개의 Vertex를 애니메이팅해야할 경우 너무 힘들다.
2. Full-featured programming languages for animation
   • C 스타일로 애니메이션 스크립트를 짤 수 있고, Maya에서 이 방식을 사용한다.
   • 한 점이 움직이면, 다른 점이 그 점을 따라서 움직이게 만들 수 있다.
   • 또는 다양한 동적 조건들을 설정할 수 있다.
3. Graphical Languages
   • 시간-위치 그래프, 시간-속도 그래프로 키프레임을 찍는 방법.
   • 애니메이터가 가장 많이 사용하는 방법이다.

Deformable Animation

피부의 탄력, 털, 옷, 표정과 같은 애니메이션을 주려면 object 모양 자체가 바뀌어야 한다.

1. Vertex 자체를 직접 조작하는 방법이 있다. (Vertex Manipulation)
2. Vertex를 전부 다 다루지 말고, 특징점만 움직이고 나머지 점은 그 특징점을 따라오도록 하자. (Vertex warping)
3. object의 Surface를 2D Grid 안에 포함시키고, Grid의 Control Point를 조작하면 주변 점들이 따라오도록 하자. (2D grid-based deforming)
4. object 내의 뼈대를 정의해서, 뼈대를 조작하면 주변 점이 따라오도록 하자. (2D skeleton-based bending)
5. object를 3D Grid 안에 포함시키고, Grid의 Control Point를 조작하면 주변 점들이 따라오도록 하자. (FFD (Free-Form Deformation))

[!question]- Vertex Warping?{title}

• Vertex를 하나 하나 직접 다루는 것은 무지 힘들기 때문에, 점을 움직이면 주변 점이 따라오도록 하는게 좋다.
• 움직이는 점을 어떤 점들이 따라가야할지 정해야 한다. 보통 인접한 곳에서 거리 \(D\)만큼 떨어진 점들이 따라 움직이도록 한다. 또, 멀리 떨어진 점일수록 덜 움직이고, 가까이 붙은 점일수록 많이 따라오도록 한다.
• 많이 사용하는 Power Curve는 다음과 같다.

• 모양이 어떻게 변할지 사사용자 지정하기가 어렵다. 점을 안으로 집어넣으면 주변 점이 튀어오른다던가 하는 효과 구현을 하기 어렵다.

[!question]- 2D Grid-based deforming?{title} object의 Surface를 포함하는 2D Grid를 정의하고, Grid의 Control Point를 조작한다. 보간 방법은 Inverse bilinear mapping라는 선형 보간 기법을 사용한다. 이건 2D 평면의 4개의 꼭짓점을 기준으로 정의된 좌표를 다른 공간으로 변환할 때 사용 가능한 기법이다.

공간을 변화시키는 것은 행렬로 표현 가능하다. \(p' = M(p)p\)

[!question]- 2D Skeleton-based Bending?{title} 스켈레톤을 정의하고, 스켈레톤을 움직임으로써 점이 따라 움직이도록 구현하는 방법.

[!question]- Free-Form Deformation?{title} object의 Bounding Box를 만든다. 이후 uniform하게 Bounding Box를 잘라 Grid를 생성한다. 그 좌표를 \((s, t, u)\)라고 하자. 각 격자점을 Control Point로 생각할 수 있다. 3중 Bezier Spline을 생성하면 가능하다. Control Point를 옮기면, Control Point 주변의 Vertex가 그 Control Point를 적절하게 따라서 움직이면 object의 모양을 변화시킬 수가 있다.

Facial Animation (안면), Sknning에서 이 방법을 사용한다.

Object Interpolation

모양이 완전히 다른 두 Object를 보간할 수 있을까? 예를들어 구에서 원뿔 모양으로 객체를 바꾸고 싶다면, Source Object와 Target Object 사이의 Vertex Correspondence를 찾아내는 것이 가장 중요하다. Correspondence란 대응 관계를 의미한다. 다음과 같은 Methods가 존재한다.

1. Case of matching topology
   • Radial mapping : 두 물체의 Topology (위상적 모양)이 비슷한 경우 사용 가능한 방법.
2. Case of mapping on sphere
   • Map to sphere
3. Case of Difficult
   • Object subdivision : Vertex의 개수가 작은 쪽을 계속 나눠서 개수가 같아질 때까지 나눈다. 이후 가까운 점끼리 mapping한다.
   • Map the boundarie : 도형을 Convex Hull해서 Boundry를 찾는다. 이후 Boundry의 Vertex를 딱 하나를 Mapping하고, 그 Vertex를 기준으로 거리를 계산해서 거리 비율대로 가장 근처의 점을 Mapping한다.

[!question]- Radial mapping?{title} 두 Object의 Center of mess 또는 Central Axis가 내부에 있고, 두 Object 모양을 겹쳤을 때 생기는 영역(kernel)이 Simple Connected하다면 사용 가능하다.

중심점에서부터 Ray를 방사한다. 이후 Ray의 두 교점의 Vertex끼리 서로 Correspondence 관계를 맺으면 된다. Correspondence 관계를 찾으면 보간은 간단해진다.

[!question]- Map to sphere?{title} 두 물체의 체적이 Simply Connected해서 두 object의 mesh를 감싸는 Sphere에 전부 mapping이 가능한 경우 사용 가능한 방법이다.

두 object를 겹쳤다고 생각하고, 두 오브젝트를 감싸는 sphere를 상상하여 각 mesh의 triangle을 sphere에 mapping한다. 그러면 source object와 target object의 triangle이 겹치는 경우가 존재한다

겹칠 수 있는 모든 가능한 Case는 위 표와 같다.

아이디어는, 겹친 정보를 토대로 두 object의 Mesh를 작은 삼각형 Mesh들로 쪼개는 것이다. 이후 Source Object와 Target Object의 서로 겹치는 삼각형은 어떤 점이 어떤 점과 Mapping되는지 쉽게 찾을 수 있다. 겹치지 않는 Vertex는, 가장 가까운 점을 찾아서 그 점과 mapping하면 모든 mapping이 가능해지고, mapping 관계를 찾으면 보간이 쉬워진다.

Image Morphing

두 이미지 간의 자연스러운 보간을 위한 기술. 만약 그냥 각 Pixel Color를 보간하게 되면 별로 자연스럽지 않다. Source image와 Target image의 특징을 분석하고, 두 이미지에 비슷한 특징이 존재한다면 그 특징을 자연스럽게 보간하면 자연스러운 Morphing이 가능하다. 과정은 다음과 같다.

1. Find Correspondence (대응 관계)
   • 원본 이미지와 대상 이미지 간의 대응되는 특징 점, Feature Point이나 특징적인 라인, Feature Line을 찾는다.
   • 사용자가 특징 점이나 특징 선을 수동으로 정의할 수 있다.
2. Intermediate Image (중간 이미지)
   • 중간 단계 이미지를 생성한다.
   • 두 이미지 간의 Feature Point, Line를 보간하여 딱 중간값 위치와 색깔을 만들어낸다.
3. 원본 이미지 -> 중간 이미지 -> 최종 이미지로 보간한다.